Teste a série
sumn=1^infty n^nn!
quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

O enunciado nos pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty n^nn!
O conteúdo aqui é Séries Numéricas e o critério mais direto para esse tipo de termo envolvendo fatoriais e potências é o Teste da Razão (ou critério de Cauchy).

Passo 2

Definimos o termo geral
an = n^nn!
e aplicamos o Teste da Razão, que analisa o limite
L = limntoinfty an+1an
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular
an+1an = (n+1)^n+1(n+1)!n^nn! = (n+1)^n+1(n+1),n!;n!n^n = (n+1)^n+1(n+1),n^n = gl(n+1ngr)^n = l(1+tfrac1nr)^n
Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
L = limntoinfty l(1+tfrac1nr)^n = e

Passo 4

Como L = e > 1, o Teste da Razão nos diz que a série diverge.

Resposta

A série
sumn=1^infty n^nn!
diverge pelo Teste da Razão.

Exercícios relacionados