Calcule as anti-transformadas de Laplace usando decomposição em frações parciais.
I(s)=3 s^2+s-32s(s+4)^2

Passo 1

O enunciado pede a antitransformada de Laplace de
I(s)=3s^2+s-32s,(s+4)^2
usando decomposição em frações parciais. Vamos usar o fato de que cada termo tfrac1s, tfrac1s+a e tfrac1(s+a)^2 tem antitransformadas conhecidas.

Passo 2

Assumimos a decomposição em frações parciais do tipo
3s^2+s-32s,(s+4)^2 =As+Bs+4+C(s+4)^2

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por s,(s+4)^2 para achar A, B e C:
3s^2+s-32 = A,(s+4)^2+B,s,(s+4)+C,s
Expandindo,
A(s^2+8s+16)+B(s^2+4s)+C,s =(A+B)s^2+(8A+4B+C)s+16A
Comparando coeficientes em s^2,s e termo constante, obtemos o sistema
A+B=3, 8A+4B+C=1, 16A=-32

Passo 4

Da terceira equação vem
16A=-32implies A=-2
Então da primeira,
B=3-A=3-(-2)=5
E da segunda,
8(-2)+4cdot5+C=1implies -16+20+C=1implies C=-3

Passo 5

Substituindo na decomposição,
I(s)=-2s+5s+4-3(s+4)^2
Agora aplicamos antitransformada termo a termo:
L^-1l(tfrac1sr)=1, L^-1l(tfrac1s+4r)=e^-4t, L^-1l(tfrac1(s+4)^2r)=t,e^-4t
Portanto,
i(t)=-2cdot1+5,e^-4t-3,t,e^-4t

Resposta

i(t)=-2+5,e^-4t-3,t,e^-4t

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