Resolva as equações:
(a y^2+b)^1 / 2-x y y^prime=0 para a, b in R, a neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
raiza y^2+b;-;x,y,dydx=0,
com a,binR e aneq0.
Percebemos que se trata de uma equação de variáveis separáveis.

Passo 2

Reescrevendo a EDO isolando dy/dx, temos
dydx=raiza y^2+bx,y
Agora separamos as variáveis y e x:
yraiza y^2+b,dy=dxx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral yraiza y^2+b,dy =integral 1x,dx
No lado esquerdo use a substituição u=a y^2+b, de modo que du=2a,y,dy e y,dy=du/(2a).

Passo 4

Calcule os dois integrais:
integral yraiza y^2+b,dy =integral 12a,duraizu =1araizu+C =1araiza y^2+b+C,
integral 1x,dx=lnl|xr|+C'
Igualando e absorvendo constantes, escrevemos
1araiza y^2+b=lnl|xr|+C1

Passo 5

Multiplicando por a e elevando ao quadrado:
raiza y^2+b=alnl|xr|+C2 Longrightarrow a y^2+b=l(aln|x|+C2r)^2
Isolando y^2 e extraindo a raiz:
y^2 =l(aln|x|+C2r)^2-ba Longrightarrow y(x)=pmraizl(aln|x|+C2r)^2-ba

Resposta

y(x)=pmraizl(aln|x|+Cr)^2-ba,
onde C é constante arbitrária.

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