Calcule as anti-transformadas de Laplace usando decomposição em frações parciais.
L(s)=3 s^2-2 s+13(s-4)(s^2+6 s+13)

Passo 1

O enunciado pede a anti-transformada de Laplace de
L(s)=3s^2-2s+13(s-4)l(s^2+6s+13r)
O conteúdo necessário inclui decomposição em frações parciais, completar o quadrado e os pares de transformadas inversas
de 1s-a, de s-a(s-a)^2+b^2 e de b(s-a)^2+b^2.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais
3s^2-2s+13(s-4)(s^2+6s+13) =As-4+Bs+Cs^2+6s+13
Multiplicando por (s-4)(s^2+6s+13) obtemos a identidade
3s^2-2s+13 =Al(s^2+6s+13r)+(Bs+C)(s-4)

Passo 3

Expandindo e agrupando em potências de
Igualando coeficientes com dá o sistema
Resolvendo, encontra-se e .

Passo 4

Logo
L(s) =1s-4+2ss^2+6s+13
Agora completamos o quadrado no denominador do segundo termo:
s^2+6s+13=(s+3)^2+4

Passo 5

Reescrevemos o numerador 2s como
2s=2(s+3)-6
e separamos
2s(s+3)^2+2^2 =2(s+3)(s+3)^2+2^2 -6(s+3)^2+2^2
Assim
L(s) =1s-4 +2(s+3)(s+3)^2+2^2 -6(s+3)^2+2^2

Passo 6

Usamos as anti-transformadas conhecidas:
L^-1l1s-4r=e^4t, L^-1ls+3(s+3)^2+2^2r=e^-3tcos(2t),
L^-1l2(s+3)(s+3)^2+2^2r =2e^-3tcos(2t), L^-1l1(s+3)^2+2^2r =tfrac12e^-3tsin(2t)
Portanto
L^-1l-tfrac6(s+3)^2+2^2r =-6cdottfrac12e^-3tsin(2t) =-3e^-3tsin(2t)

Resposta

f(t)=e^4t+2e^-3tcos(2t)-3e^-3tsin(2t)

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