Calcule as anti-transformadas de Laplace usando decomposição em frações parciais.
F(s)=2 s+5s^2+7 s+12

Passo 1

O enunciado pede calcular a transformada inversa de Laplace de
F(s)=2s+5s^2+7s+12
usando decomposição em frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador, expressar F(s) como soma de termos simples e depois usar a tabela básica de transformadas inversas.

Passo 2

Fatoramos o polinômio do denominador:
s^2+7s+12=(s+3)(s+4)

Passo 3

Expressamos F(s) na forma
2s+5(s+3)(s+4)=As+3+Bs+4
Multiplicando ambos os lados por (s+3)(s+4) obtemos
2s+5 = A(s+4)+B(s+3)

Passo 4

Desenvolvendo o lado direito:
A(s+4)+B(s+3)=(A+B)s+(4A+3B)
Comparando coeficientes em s e termos constantes:
A+B=2, 4A+3B=5,
resolvendo este sistema vem
A=-1, B=3
Logo
F(s)=-1s+3+3s+4

Passo 5

Aplicamos agora a transformada inversa termo a termo, sabendo que
L^-1ltfrac1s+ar=e^-a t. Assim,
L^-1F(s) =- L^-1ltfrac1s+3r +3, L^-1ltfrac1s+4r =-e^-3t+3e^-4t

Resposta

f(t) = -e^-3t + 3e^-4t

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