Calcule as anti-transformadas de Laplace usando o primeiro teorema do deslocamento.
H(s)=2 s+14s^2+2 s+10

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a anti-transformada de Laplace usando o primeiro teorema do deslocamento. O enunciado nos dá a função H(s) = 2s + 14s^2 + 2s + 10 . Para isso, vamos precisar conhecer o Teorema do Deslocamento na Transformada de Laplace e como aplicar as propriedades de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de H(s) . Observamos que o denominador s^2 + 2s + 10 pode ser completado para um quadrado. Para isso, calculamos:
s^2 + 2s + 10 = (s + 1)^2 + 9
Então, a função H(s) fica:
H(s) = 2s + 14(s + 1)^2 + 9

Passo 3

Agora, vamos reescrever o numerador 2s + 14 para facilitar a aplicação do teorema. Podemos expressar 2s + 14 como:
2s + 14 = 2(s + 1) + 12
Substituindo na expressão de H(s) , temos:
H(s) = 2(s + 1) + 12(s + 1)^2 + 9

Passo 4

Dividimos a fração em duas partes para facilitar a identificação das transformadas conhecidas:
H(s) = 2(s + 1)(s + 1)^2 + 9 + 12(s + 1)^2 + 9

Passo 5

Agora, reconhecemos que cada termo corresponde a uma forma padrão da Transformada de Laplace. Sabemos que:
Le^-at cos(bt) = s + a(s + a)^2 + b^2
Le^-at sin(bt) = b(s + a)^2 + b^2
Comparando com nossos termos, temos a = 1 e b = 3 .

Passo 6

Aplicando as fórmulas acima, obtemos:
L^-12(s + 1)(s + 1)^2 + 9 = 2e^-t cos(3t)
L^-112(s + 1)^2 + 9 = 123 e^-t sin(3t) = 4e^-t sin(3t)

Resposta

A anti-transformada de H(s) é:
h(t) = 2e^-t cos(3t) + 4e^-t sin(3t)

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