Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty n!x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=0^infty n!x^n. Isso faz parte do conteúdo de séries de potências e convergência de séries. Para isso, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da razão. Ele diz que, para a série sum an, se a gente calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não funciona e precisamos tentar outro método.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse teste à nossa série sumn=0^infty n!x^n. Aqui, cada termo an = n!x^n.
Vamos calcular an+1an:
an+1an = (n+1)!x^n+1n!x^n = (n+1) cdot x

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite L:
L = limn to infty |(n+1) cdot x| = |x| cdot limn to infty (n+1)
Como limn to infty (n+1) = infty, temos:
L = |x| cdot infty = infty

Passo 5

De acordo com o teste da razão:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Mas aqui, L = infty, que é maior que 1.
Então, a série diverge para todo x neq 0. Isso significa que a única possibilidade de convergência é quando x = 0.

Passo 6

Agora, vamos determinar o raio de convergência R. Pelo teste da razão, se a série converge apenas em x = 0, então o raio de convergência é 0.
R = 0

Passo 7

Por fim, o intervalo de convergência é simplesmente o conjunto de valores de x para os quais a série converge. Como a série só converge em x = 0, o intervalo é apenas esse ponto.
Intervalo de Convergência: 0 ê

Resposta

O raio de convergência é R = 0 e o intervalo de convergência é apenas x = 0.

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