Calcule as anti-transformadas de Laplace usando o primeiro teorema do deslocamento.
B(s)=12(s-3)^3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a anti-transformada de Laplace usando o primeiro teorema do deslocamento. O objetivo é encontrar a função no domínio do tempo que corresponde à transformada de Laplace dada por B(s) = 12(s-3)^3 . Para isso, vamos utilizar o teorema do deslocamento e as propriedades das transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do primeiro teorema do deslocamento da transformada de Laplace. Esse teorema nos diz que se temos uma função F(s) cuja transformada de Laplace é conhecida, então a transformada de e^a t f(t) é F(s - a) . Em outras palavras:
Le^a t f(t) = F(s - a)
Isso significa que, para encontrar a anti-transformada de uma função que tem um termo (s - a) no denominador, podemos relacionar com a transformada de uma função que foi deslocada exponencialmente em f(t) .

Passo 3

Agora, observamos a expressão dada:
B(s) = 12(s - 3)^3
Comparando com a forma geral do teorema do deslocamento, vemos que a = 3 e a expressão 1(s - 3)^3 está relacionada à transformada de uma função do tipo t^n-1 e^a t , onde n é inteiro positivo.
Sabemos que:
Lt^n-1 = (n-1)!s^n
Aplicando o teorema do deslocamento, temos:
Lt^n-1 e^a t = (n-1)!(s - a)^n

Passo 4

Comparando a expressão de B(s) com a fórmula acima, identificamos que n = 3 e a = 3 . Portanto, a anti-transformada de 1(s - 3)^3 é:
f(t) = t^3-1 e^3 t(3-1)! = t^2 e^3 t2! = t^2 e^3 t2
Como B(s) = 12 times 1(s - 3)^3 , multiplicamos a anti-transformada por 12:
f(t) = 12 times t^2 e^3 t2 = 6 t^2 e^3 t

Resposta

A anti-transformada de B(s) = 12(s - 3)^3 é:
f(t) = 6 t^2 e^3 t

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