Calcule as anti-transformadas de Laplace usando o primeiro teorema do deslocamento.
G(s)=2s^2+2 s+5

Passo 1

O enunciado pede a anti-transformada de Laplace de
G(s)=2s^2+2s+5
usando o primeiro teorema do deslocamento. Para isso vamos completar o quadrado no denominador e depois reconhecer uma transformada padrão de seno, aplicando o deslocamento em s.

Passo 2

Completamos o quadrado no denominador:
s^2+2s+5 = (s+1)^2+4
Logo podemos reescrever
G(s)=2(s+1)^2+2^2

Passo 3

Sabemos que
Lsin(2t)(s)=2s^2+2^2
Pelo primeiro teorema do deslocamento, se Lf(t)(s)=F(s) então
Le^-tf(t)(s)=F(s+1)
Aqui F(s)=2/(s^2+2^2), logo
Le^-tsin(2t)(s) =2(s+1)^2+2^2 =G(s)

Passo 4

Portanto a anti-transformada de G(s) é
g(t)=e^-tsin(2t),
para t>=0.

Resposta

g(t)=e^-tsin(2t)

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