Teste a série
sumn=1^infty (-1)^n 3 n4 n-1

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty (-1)^n ,3n4n-1
O conteúdo aqui são testes de convergência de séries numéricas, em especial a condição necessária de convergência (termo geral deve tender a zero) e, eventualmente, o teste de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
tn = (-1)^n,3n4n-1
Para qualquer série, um teste inicial fundamental é verificar o limite do termo geral:
limntoinfty tn

Passo 3

Calculemos o limite de tn. Como (-1)^n oscila entre 1 e -1, podemos primeiro olhar o módulo:
|tn| = 3n4n-1
Temos
limntoinfty 3n4n-1 = limntoinfty 34 - tfrac1n = 34
Logo
limntoinfty |tn| = 34 Longrightarrow limntoinfty tn
não existe como zero (oscila entre valores cuja magnitude tende a 3/4).

Passo 4

Como condição necessária para convergência de qualquer série é
limntoinfty tn = 0,
e aqui esse limite não é zero, concluímos que a série diverge. Não é preciso aplicar o teste de Leibniz, pois já falha a condição básica.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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