Calcule as anti-transformadas de Laplace usando o primeiro teorema do deslocamento.
E(s)=2 s-6s^2-6 s+9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a antitransformada de Laplace usando o primeiro teorema do deslocamento para a função E(s) = 2s - 6s^2 - 6s + 9 . Vamos precisar entender como aplicar o teorema do deslocamento na transformada de Laplace para encontrar a função no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de E(s) . Observe o denominador s^2 - 6s + 9 . Isso pode ser fatorado como um quadrado perfeito:
s^2 - 6s + 9 = (s - 3)^2
Então, nossa função fica:
E(s) = 2s - 6(s - 3)^2

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador 2s - 6 . Podemos fatorar 2:
2s - 6 = 2(s - 3)
Substituindo de volta na expressão de E(s) :
E(s) = 2(s - 3)(s - 3)^2 = 2s - 3

Passo 4

Agora, temos E(s) = 2s - 3 . Para encontrar a antitransformada de Laplace dessa função, vamos usar o primeiro teorema do deslocamento.
O primeiro teorema do deslocamento diz que se Lf(t) = F(s - a) , então L^-1F(s) = e^a t f(t) .
No nosso caso, F(s) = 2s - 3 . Comparando com a forma F(s - a) , vemos que a = 3 e F(s) = 2 cdot 1s - 3 .
Sabemos que L1 = 1s . Portanto, L e^a t = 1s - a .

Passo 5

Aplicando o teorema, identificamos que L^-11s - 3 = e^3 t .
Como temos um fator 2 na nossa função E(s) , a antitransformada será:
L^-1 2s - 3 = 2 e^3 t

Resposta

A antitransformada de Laplace de E(s) = 2s - 6s^2 - 6s + 9 é:
f(t) = 2 e^3 t

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