Nas questões de 3 até 15, calcule, se existir, lim x infty f(x), sendo f(x) a função informada.
-7 x^5+2(raiz2 x-8)^2(3 x^3-6)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtoinftyf(x),
sendo
f(x)=-7x^5+2l(raiz2,x-8r)^2,l(3x^3-6r)
O conteúdo aqui é limite de função racional em que tanto numerador quanto denominador crescem como potência de x. Para resolver, vamos comparar os termos de maior grau em x.

Passo 2

Observe o grau de cada parte:
  • O numerador -7x^5+2 tem termo dominante -7x^5.
  • O denominador é produto de (raiz2,x-8)^2 e (3x^3-6). O primeiro fator se comporta como (raiz2,x)^2=2x^2 para xtoinfty, e o segundo como 3x^3. Logo o grau total do denominador é 2+3=5.

Passo 3

Para formalizar, fatoramos x^5 em numerador e denominador:
l(raiz2,x-8r)^2 = x^2,l(raiz2-tfrac8xr)^2, 3x^3-6 = x^3,l(3-tfrac6x^3r)
Assim
(raiz2,x-8)^2(3x^3-6) = x^5,l(raiz2-tfrac8xr)^2 l(3-tfrac6x^3r)
E
-7x^5+2 = x^5l(-7+tfrac2x^5r)

Passo 4

Reescrevendo f(x):
f(x) =x^5l(-7+tfrac2x^5r) x^5l(raiz2-tfrac8xr)^2l(3-tfrac6x^3r) =-7+tfrac2x^5 l(raiz2-tfrac8xr)^2,l(3-tfrac6x^3r)
Ao fazermos xtoinfty, os termos tfrac2x^5, tfrac8x e tfrac6x^3 tendem a zero.

Passo 5

Tomando o limite em cada fator:
limxtoinftyl(-7+tfrac2x^5r)=-7, limxtoinftyl(raiz2-tfrac8xr)^2=(raiz2)^2=2, limxtoinftyl(3-tfrac6x^3r)=3
Portanto
limxtoinftyf(x) =-72cdot3 =,-76

Resposta

-76

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