Calcule, aplicando as regras de derivação as derivadas parciais de
(primeira) ordem da função:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja:
Informações relevantes que temos: a função está escrita com base
e expoente
, ambos variáveis. Para manipular logaritmos e a escrita exponencial que usaremos, é preciso assumir que
(assim
está bem definida e tudo fica real). Não vamos resolver ainda — só organizei o que é pedido e o que temos.
Passo 2
Estratégia e regra que vamos usar (explicadinha e tranquila):
- Uma boa forma de derivar funções do tipo base e expoente dependentes é reescrever usando a exponencial:
. Isso transforma uma potência complicada numa composição simples de funções exponencial e logaritmo. - Regra do encadeamento (chain rule) para funções de várias variáveis: se
, então
Aqui
. Vou aplicar isso passo a passo, explicando cada derivada parcial de
.
Passo 3
Calcule
e suas derivadas parciais:
Derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante):
-
tem derivada . - Como
é constante perante , pela regra do produto com constante:
Passo 4
Agora aplico a chain rule para obter
. Como
,
Substituindo
e
:
Repare que
. Portanto
Pequena explicação intuitiva: é como a regra da potência
se
for constante; aqui
age como constante ao derivar em
, então o resultado bate com essa regra.
Passo 5
Derivada parcial em relação a
:
Primeiro calcule . Temos
. Agora
é constante perante
, então
Primeiro calcule
Aplicando chain rule para
:
Substituindo
obtemos
Interpretação: ao variar
o expoente muda, então aparece o fator
(da derivada de
) multiplicado por
(porque o logaritmo surge ao puxar o expoente para fora).
Passo 6
Resumo das hipóteses e dicas para prova:
- As fórmulas acima foram obtidas assumindo
para usar . Se o tratamento real exige cuidado (potências com expoentes não inteiros etc.). Na maioria das provas, supõe-se nesse tipo de exercício. - Método prático na prova: ou você lembra que pode tratar
como constante ao derivar em e usar a regra da potência diretamente, ou reescreve como e aplica chain rule — ambas chegam ao mesmo resultado. Para a escrita exponencial é a caminho mais direto.