Calcule, aplicando as regras de derivação as derivadas parciais de 1{ }^{\text {a }} (primeira) ordem da função:
z=x^{y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função z = x^{y^{2}} e pede as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja:
\frac{\partial z}{\partial x}\quad\text{e}\quad\frac{\partial z}{\partial y}.
Informações relevantes que temos: a função está escrita com base x e expoente y^{2}, ambos variáveis. Para manipular logaritmos e a escrita exponencial que usaremos, é preciso assumir que x>0 (assim \ln x está bem definida e tudo fica real). Não vamos resolver ainda — só organizei o que é pedido e o que temos.

Passo 2

Estratégia e regra que vamos usar (explicadinha e tranquila):
  • Uma boa forma de derivar funções do tipo base e expoente dependentes é reescrever usando a exponencial: x^{y^{2}} = e^{y^{2}\ln x}. Isso transforma uma potência complicada numa composição simples de funções exponencial e logaritmo.
  • Regra do encadeamento (chain rule) para funções de várias variáveis: se z = e^{u(x,y)}, então
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui u(x,y)=y^{2}\ln x. Vou aplicar isso passo a passo, explicando cada derivada parcial de u.

Passo 3

Calcule u(x,y) e suas derivadas parciais:
u(x,y)=y^{2}\ln x.
Derivada parcial de u em relação a x (tratando y como constante):
  • \ln x tem derivada \dfrac{1}{x}.
  • Como y^{2} é constante perante x, pela regra do produto com constante:
\frac{\partial u}{\partial x}=y^{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{y^{2}}{x}.

Passo 4

Agora aplico a chain rule para obter \dfrac{\partial z}{\partial x}. Como z=e^{u(x,y)},
\frac{\partial z}{\partial x}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Substituindo u e \partial u/\partial x:
\frac{\partial z}{\partial x}=e^{y^{2}\ln x}\cdot\frac{y^{2}}{x}.
Repare que e^{y^{2}\ln x}=x^{y^{2}}. Portanto
\frac{\partial z}{\partial x}=x^{y^{2}}\cdot\frac{y^{2}}{x}=y^{2}x^{y^{2}-1}.
Pequena explicação intuitiva: é como a regra da potência d/dx(x^{a})=a x^{a-1} se a for constante; aqui a=y^{2} age como constante ao derivar em x, então o resultado bate com essa regra.

Passo 5

Derivada parcial em relação a y:
Primeiro calcule \dfrac{\partial u}{\partial y}. Temos u=y^{2}\ln x. Agora \ln x é constante perante y, então
\frac{\partial u}{\partial y}=2y\ln x.
Aplicando chain rule para z=e^{u}:
\frac{\partial z}{\partial y}=e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=e^{y^{2}\ln x}\cdot(2y\ln x).
Substituindo e^{y^{2}\ln x}=x^{y^{2}} obtemos
\frac{\partial z}{\partial y}=2y\ln x\; x^{y^{2}}.
Interpretação: ao variar y o expoente muda, então aparece o fator 2y (da derivada de y^{2}) multiplicado por \ln x (porque o logaritmo surge ao puxar o expoente para fora).

Passo 6

Resumo das hipóteses e dicas para prova:
  • As fórmulas acima foram obtidas assumindo x>0 para usar \ln x. Se x\le 0 o tratamento real exige cuidado (potências com expoentes não inteiros etc.). Na maioria das provas, supõe-se x>0 nesse tipo de exercício.
  • Método prático na prova: ou você lembra que pode tratar y^{2} como constante ao derivar em x e usar a regra da potência diretamente, ou reescreve como e^{y^{2}\ln x} e aplica chain rule — ambas chegam ao mesmo resultado. Para \partial/\partial y a escrita exponencial é a caminho mais direto.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=y^{2}x^{y^{2}-1}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=2y\ln x\;x^{y^{2}}

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