Calcule, aplicando as regras de derivação as derivadas parciais de 1{ }^{\text {a }} (primeira) ordem da função:
z=\operatorname{arcsen}(x+y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função dada. Informações fornecidas pelo enunciado:
z=\operatorname{arcsen}(x+y).
Perguntas implícitas que vamos responder: quais são \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}? Além disso, anotar as restrições de domínio necessárias para que a função e as derivadas façam sentido.

Passo 2

Vamos entender a função interna que aparece dentro do \operatorname{arcsen}. Definimos a função auxiliar
u(x,y)=x+y.
Isto significa que z é composta de duas funções: primeiro somamos x e y para obter u, depois aplicamos \operatorname{arcsen} a u. Quando tivermos uma composição, para derivar usamos a regra da cadeia (explico em detalhe no próximo passo).

Passo 3

Antes de aplicar a regra da cadeia, precisamos da derivada (no sentido de variável real) da função \operatorname{arcsen}(t) em relação a t. Vou mostrar um derivação curta e didática por diferenciação implícita:
Defina w(t)=\operatorname{arcsen}(t). Então por definição temos
\sin\big(w(t)\big)=t.
Diferenciando ambos os lados em relação a t (usando a regra da cadeia no lado esquerdo), obtemos
\cos\big(w(t)\big)\cdot w'(t)=1.
Isolando w'(t),
w'(t)=\frac{1}{\cos\big(w(t)\big)}.
Agora usamos a identidade trigonométrica \cos^2\theta=1-\sin^2\theta. Como \sin\big(w(t)\big)=t, temos \cos\big(w(t)\big)=\sqrt{1-t^2} (escolhemos o sinal positivo porque a derivada de \operatorname{arcsen} no ramo principal tem \cos\ge 0). Portanto
\frac{d}{dt}\operatorname{arcsen}(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}},
válido para t\in(-1,1).

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia, no caso de composição z=\operatorname{arcsen}(u(x,y)), diz que
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{d}{du}\operatorname{arcsen}(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{d}{du}\operatorname{arcsen}(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui \dfrac{d}{du}\operatorname{arcsen}(u) é a derivada que encontramos no passo anterior e \dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial u}{\partial y} são as derivadas parciais da função interna u(x,y)=x+y.

Passo 5

Calculemos as derivadas parciais de u(x,y)=x+y. Como y é tratado como constante quando diferenciamos em relação a x,
\frac{\partial u}{\partial x}=1.
Analogamente, tratando x como constante ao derivar em relação a y,
\frac{\partial u}{\partial y}=1.

Passo 6

Substituímos tudo na regra da cadeia. Usando \dfrac{d}{du}\operatorname{arcsen}(u)=\dfrac{1}{\sqrt{1-u^2}} e u=x+y, obtemos
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{\sqrt{1-(x+y)^2}}\cdot 1=\frac{1}{\sqrt{1-(x+y)^2}}
e
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{\sqrt{1-(x+y)^2}}\cdot 1=\frac{1}{\sqrt{1-(x+y)^2}}.

Passo 7

Observação importante sobre domínio: essas derivadas existem (e a expressão acima é válida) apenas quando o argumento do \operatorname{arcsen} está dentro do intervalo de definição e a raiz no denominador é não nula, ou seja quando
x+y\in(-1,1).
Em x+y=\pm 1 o denominador fica zero e a derivada tende ao infinito (ou não existe como número finito).

Passo 8

Pequeno exemplo numérico para fixar (opcional, só para ver na prática): se x=0{,}3 e y=0{,}2 então x+y=0{,}5 e
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{\sqrt{1-(0{,}5)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-0{,}25}}=\frac{1}{\sqrt{0{,}75}}.
Isso mostra como calcular numericamente sem mistério.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{\sqrt{1-(x+y)^2}}
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{\sqrt{1-(x+y)^2}}

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