Calcule, aplicando as regras de derivação as derivadas parciais de
(primeira) ordem da função:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função dada. Informações fornecidas pelo enunciado:
Perguntas implícitas que vamos responder: quais são
e
? Além disso, anotar as restrições de domínio necessárias para que a função e as derivadas façam sentido.
Passo 2
Vamos entender a função interna que aparece dentro do
. Definimos a função auxiliar
Isto significa que
é composta de duas funções: primeiro somamos
e
para obter
, depois aplicamos
a
. Quando tivermos uma composição, para derivar usamos a regra da cadeia (explico em detalhe no próximo passo).
Passo 3
Antes de aplicar a regra da cadeia, precisamos da derivada (no sentido de variável real) da função
em relação a
. Vou mostrar um derivação curta e didática por diferenciação implícita:
Defina
. Então por definição temos
Diferenciando ambos os lados em relação a
(usando a regra da cadeia no lado esquerdo), obtemos
Isolando
,
Agora usamos a identidade trigonométrica
. Como
, temos
(escolhemos o sinal positivo porque a derivada de
no ramo principal tem
). Portanto
válido para
.
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia, no caso de composição
, diz que
Aqui
é a derivada que encontramos no passo anterior e
,
são as derivadas parciais da função interna
.
Passo 5
Calculemos as derivadas parciais de
. Como
é tratado como constante quando diferenciamos em relação a
,
Analogamente, tratando
como constante ao derivar em relação a
,
Passo 6
Substituímos tudo na regra da cadeia. Usando
e
, obtemos
e
Passo 7
Observação importante sobre domínio: essas derivadas existem (e a expressão acima é válida) apenas quando o argumento do
está dentro do intervalo de definição e a raiz no denominador é não nula, ou seja quando
Em
o denominador fica zero e a derivada tende ao infinito (ou não existe como número finito).
Passo 8
Pequeno exemplo numérico para fixar (opcional, só para ver na prática): se
e
então
e
Isso mostra como calcular numericamente sem mistério.