Calcule, sem aplicar o Teorema de Stokes, a integral do campo vetorial
\vec{F}(x, y, z)=3 y \vec{\imath}-x z \vec{\jmath}+y z^{2} \vec{k}
sobre a curva gerada pela intersecção do paraboloide 2 z=x^{2}+y^{2} e o plano z=2.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r}
do campo
\vec{F}(x,y,z)=3y\,\vec{\imath}-xz\,\vec{\jmath}+yz^2\,\vec{k}
ao longo da curva C dada pela interseção do paraboloide 2z=x^2+y^2 com o plano z=2.
O conteúdo é parametrização de curva em \mathbb{R}^3 e cálculo direto de \int \vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Primeiro identificamos C. Em z=2, o paraboloide dá
x^2+y^2=2\cdot 2=4,
ou seja, C é o círculo de raio 2 no plano z=2. Uma parametrização natural (orientação contra-horária vista de cima) é
\mathbf{r}(t)=\bigl(2\cos t,\;2\sin t,\;2\bigr),\quad t\in[0,2\pi].
Então
d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt =\bigl(-2\sin t,\;2\cos t,\;0\bigr)\,dt.

Passo 3

Agora avaliamos \vec{F} em \mathbf{r}(t). Temos
x=2\cos t,\quad y=2\sin t,\quad z=2,
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\vec{F}(\mathbf{r}(t)) =\bigl(3y,\,-x\,z,\;y\,z^2\bigr) =\bigl(6\sin t,\,-4\cos t,\;8\sin t\bigr).

Passo 4

O produto escalar é
\vec{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) = \bigl(6\sin t,\,-4\cos t,\,8\sin t\bigr)\cdot\bigl(-2\sin t,\,2\cos t,\,0\bigr) =-12\sin^2 t-8\cos^2 t.
Portanto
\oint_C\vec{F}\cdot d\vec{r} =\int_{0}^{2\pi}\bigl(-12\sin^2 t-8\cos^2 t\bigr)\,dt.

Passo 5

Usamos \int_0^{2\pi}\sin^2 t\,dt=\int_0^{2\pi}\cos^2 t\,dt=\pi. Então
\int_{0}^{2\pi}(-12\sin^2 t-8\cos^2 t)\,dt =-12\pi-8\pi=-20\pi.

Resposta

\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = -20\pi.

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