Use a notação de somatório para escrever a série de Taylor em torno de x=x_{0} da função dada.
e^{-x} ; x_{0}=\ln 2

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=e^{-x} em torno de x_{0}=\ln 2. O conteúdo aqui é a fórmula da série de Taylor em torno de um ponto qualquer, que diz
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}\,(x-x_{0})^{n}.
Vamos precisar calcular as derivadas de f em x_{0} e depois montar o somatório.

Passo 2

Calculamos a n-ésima derivada de f(x)=e^{-x}. Como cada derivada traz um fator -1, temos
f^{(n)}(x)=(-1)^{n}e^{-x}.
Em particular, em x_{0}=\ln 2 isso vale
f^{(n)}(x_{0}) = (-1)^{n}e^{-\ln 2} = (-1)^{n}\frac{1}{2}.

Passo 3

Substituímos na fórmula da série de Taylor:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}\,(x-x_{0})^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\,\frac{1}{2}}{n!}\,(x-\ln2)^{n}.

Passo 4

Fatorando o 1/2 fora do somatório, obtemos a forma mais compacta:
e^{-x}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\,(x-\ln2)^{n}.

Resposta

e^{-x} = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\,(x-\ln2)^{n}.

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