Use a notação de somatório para escrever a série de Taylor em torno de x=x_{0} da função dada.
\frac{1}{x+2} ; x_{0}=3

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor da função
f(x)=\frac{1}{x+2}
em torno de x_{0}=3. Para isso, vamos reescrever f em termos de t = x-3 e usar a série geométrica, que corresponde ao conteúdo de séries de potências (ou binomial) aplicado à forma \frac{1}{1+u}.

Passo 2

Definimos
t = x-3,
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x = 3 + t \quad\Longrightarrow\quad f(x)=\frac{1}{(3+t)+2}=\frac{1}{5+t}.
Agora fatoramos 5:
\frac{1}{5+t}=\frac{1}{5}\,\frac{1}{1+\frac{t}{5}}.

Passo 3

Usamos a expansão da série geométrica para \frac{1}{1+u}, válida para |u|<1:
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n}.
Aqui escolhemos u = \frac{t}{5}.

Passo 4

Substituindo u=\tfrac{t}{5} e voltando a t=x-3, obtemos
\frac{1}{5+t} =\frac{1}{5}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\Bigl(\frac{t}{5}\Bigr)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(x-3)^{n}}{5^{\,n+1}}.

Resposta

\boxed{ \frac{1}{x+2} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(x-3)^{n}}{5^{\,n+1}} \quad(\lvert x-3\rvert<5)\,.}

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