Use a notação de somatório para escrever a série de Taylor em torno de x=x_{0} da função dada.
\frac{1}{x} ; x_{0}=-1

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos desenvolver a função \frac{1}{x} em série de Taylor em torno de x_{0}=-1. Para isso vamos usar a definição geral
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}\bigl(x-x_{0}\bigr)^{n}.

Passo 2

Vamos calcular a n-ésima derivada de f(x)=\frac{1}{x} por indução. Note que
f'(x)=-1\cdot x^{-2},\quad f''(x)=(-1)\cdot(-2)\,x^{-3}=(-1)^{2}2!\,x^{-3},
e supondo que
f^{(n)}(x)=(-1)^{n}n!\,x^{-n-1}
é fácil verificar que
f^{(n+1)}(x)=\frac{d}{dx}\bigl[(-1)^{n}n!\,x^{-n-1}\bigr] =(-1)^{n}n!(-n-1)\,x^{-n-2} =(-1)^{n+1}(n+1)!\,x^{-n-2}.

Passo 3

Avaliamo essa fórmula em x_{0}=-1. Temos
f^{(n)}(-1)=(-1)^{n}n!(-1)^{-n-1} =(-1)^{n-n-1}n!=(-1)^{-1}n!=-n!.

Passo 4

O coeficiente geral da série é
\frac{f^{(n)}(-1)}{n!}=\frac{-n!}{n!}=-1.

Passo 5

Substituindo na soma de Taylor, com x-x_{0}=x-(-1)=x+1, obtemos
\frac{1}{x} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)\,(x+1)^{n} =-\sum_{n=0}^{\infty}(x+1)^{n},
que converge para \lvert x+1\rvert<1.

Resposta

\frac{1}{x} =-\sum_{n=0}^{\infty}(x+1)^{n}, \quad |x+1|<1.

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