Calcule uma aproximação para 99^{3} utilizando a taxa de varinçīo instrantânea de x^{3} em x=100

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \,99^3 usando a derivada de f(x)=x^3 em x=100.
O conteúdo envolve linearização de funções, ou seja, usar a reta tangente em um ponto para estimar valores próximos.

Passo 2

Definimos
f(x)=x^3
e calculamos sua derivada
f'(x)=3x^2.
A ideia da aproximação linear é usar
f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\,\Delta x,
onde x_0=100 e \Delta x=-1 (pois 99=100-1).

Passo 3

Calculamos no ponto x_0=100:
f(100)=100^3=1\,000\,000,
f'(100)=3\cdot100^2=3\cdot10\,000=30\,000.

Passo 4

Aplicando a fórmula com \Delta x=-1:
f(99)\approx f(100)+f'(100)\,(-1) =1\,000\,000-30\,000 =970\,000.

Resposta

A aproximação de 99^3 obtida por linearização em x=100 é 970\,000.

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