Calcule a área sob o gráfico da função f(t) \equiv t^{2} no intervalo [a, b]

Passo 1

O enunciado pede a área sob o gráfico de f(t)=t^{2} no intervalo [a,b]. Este problema usa cálculo de integral definida e o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que a área entre a curva e o eixo é dada pela diferença da primitiva avaliada nos limites.

Passo 2

Para encontrar a primitiva de f(t)=t^{2}, usamos a regra de potência, segundo a qual
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C.
Neste caso, n=2, então
F(t) = \frac{t^{3}}{3} + C.
A constante C não altera o valor da integral definida.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{a}^{b} t^{2}\,dt = F(b) - F(a) = \left(\frac{b^{3}}{3} + C\right) - \left(\frac{a^{3}}{3} + C\right) = \frac{b^{3}}{3} - \frac{a^{3}}{3} = \frac{b^{3}-a^{3}}{3}.

Resposta

\dfrac{b^{3}-a^{3}}{3}

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