Calcule a área sob o gráfico da função f(t)=t^{2} no intervalo [0, x]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área sob o gráfico da função f(t)=t^{2} no intervalo [0,x]. Isso envolve o conceito de integral definida e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

A área sob a curva de f(t) entre t=0 e t=x é dada pela integral definida
A(x)=\int_{0}^{x}t^{2}\,dt.

Passo 3

Para calcular essa integral, primeiro encontramos uma primitiva F(t) de f(t)=t^{2}. Sabemos que
F(t)=\frac{t^{3}}{3}
pois \frac{d}{dt}\bigl(\tfrac{t^{3}}{3}\bigr)=t^{2}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
A(x)=F(x)-F(0) =\frac{x^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3} =\frac{x^{3}}{3}.

Resposta

\frac{x^{3}}{3}

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