Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, encontre o(s) ponto(s) sobre a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=14 \operatorname{no}(\mathrm{~s}) qual(is) a função f(x, y, z)=3 x-2 y+z atinge seu valor máximo.
Passo 1
O enunciado pede para maximizar a função
f(x,y,z)=3x-2y+z
sujeita à restrição de estar na esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=14.
O método dos multiplicadores de Lagrange diz que, se existir máximo interno à restrição, ele deve satisfazer
\nabla f = \lambda\,\nabla g,
onde g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-14.
Passo 2
Calculemos os gradientes:
\nabla f = (3,\,-2,\,1), \quad \nabla g = (2x,\,2y,\,2z).