Utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange, encontre o(s) ponto(s) sobre a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=14 \operatorname{no}(\mathrm{~s}) qual(is) a função f(x, y, z)=3 x-2 y+z atinge seu valor máximo.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a função
f(x,y,z)=3x-2y+z
sujeita à restrição de estar na esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=14.
O método dos multiplicadores de Lagrange diz que, se existir máximo interno à restrição, ele deve satisfazer
\nabla f = \lambda\,\nabla g,
onde g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-14.

Passo 2

Calculemos os gradientes:
\nabla f = (3,\,-2,\,1), \quad \nabla g = (2x,\,2y,\,2z).
As condições de Lagrange são
\begin{cases} 3 = \lambda\,2x,\\\\ -2 = \lambda\,2y,\\\\ 1 = \lambda\,2z,\\\ x^2+y^2+z^2=14. \end{cases}

Passo 3

Das três primeiras equações tiramos
x = \frac{3}{2\lambda}, \quad y = \frac{-2}{2\lambda} = -\frac{1}{\lambda}, \quad z = \frac{1}{2\lambda}.

Passo 4

Substituindo na restrição:
\Bigl(\frac{3}{2\lambda}\Bigr)^2 + \Bigl(-\frac{1}{\lambda}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{1}{2\lambda}\Bigr)^2 = 14
\frac{9}{4\lambda^2} + \frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{4\lambda^2} = 14 \;\Longrightarrow\; \frac{14}{4\lambda^2} = 14 \;\Longrightarrow\; \lambda^2 = \frac{1}{4} \;\Longrightarrow\; \lambda = \pm \tfrac12.

Passo 5

Para \lambda = \tfrac12:
x = 3,\;y = -2,\;z = 1,
e para \lambda = -\tfrac12:
x = -3,\;y = 2,\;z = -1.
Avalie f em cada ponto:
f(3,-2,1)=3\cdot3 -2\cdot(-2)+1 = 14, \quad f(-3,2,-1)=3\cdot(-3)-2\cdot2+(-1) = -14.

Passo 6

Como o maior valor obtido é 14 em (3,-2,1), esse é o ponto de máximo sobre a esfera.

Resposta

(3,-2,1)

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