Calcule uma aproximação de x^{*}=\sqrt[3]{25} com uma tolerância \varepsilon=10^{-4} pelos métodos:
(iii) Secante
Observação: Escolha uma função f(x) apropriada de maneira que x^{*} seja um zero dela. Aplique os métodos sobre f(x).

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação de x^{*}=\sqrt[3]{25} com tolerância \varepsilon=10^{-4} pelo método da secante. Vamos escolher como função
f(x)=x^{3}-25,
cujo zero real é exatamente \sqrt[3]{25}. O método da secante gera aproximações pela fórmula
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})\,(x_{n}-x_{n-1})}{f(x_{n})-f(x_{n-1})},
repetindo até \bigl|x_{n+1}-x_{n}\bigr|<\varepsilon.

Passo 2

Escolhemos os palpites iniciais
x_{0}=2,\quad x_{1}=3,
pois f(2)=2^{3}-25=-17<0 e f(3)=3^{3}-25=2>0, garantindo que a raiz está entre 2 e 3.

Passo 3

Calculamos
f(x_{0})=f(2)=-17, \quad f(x_{1})=f(3)=2,
e então
x_{2} =3-\frac{2\,(3-2)}{2-(-17)} =3-\frac{2}{19} \approx2{,}894737.
A diferença é \bigl|x_{2}-x_{1}\bigr|\approx0{,}105263>10^{-4}, logo continuamos.

Passo 4

Com x_{1}=3 e x_{2}\approx2{,}894737 obtemos
f(x_{2})\approx(2{,}894737)^{3}-25\approx-0{,}743582,
de modo que
x_{3} =2{,}894737-\frac{-0{,}743582\,(2{,}894737-3)}{-0{,}743582-2} \approx2{,}923426.
Aqui \bigl|x_{3}-x_{2}\bigr|\approx0{,}028689>10^{-4}, prosseguimos.

Passo 5

Agora, com x_{2}\approx2{,}894737 e x_{3}\approx2{,}923426,
f(x_{3})\approx(2{,}923426)^{3}-25\approx-0{,}004699,
e
x_{4} =2{,}923426-\frac{-0{,}004699\,(2{,}923426-2{,}894737)}{-0{,}004699-(-0{,}743582)} \approx2{,}923610.
A diferença é \bigl|x_{4}-x_{3}\bigr|\approx0{,}000184>10^{-4}, ainda acima da tolerância.

Passo 6

Por fim, com x_{3}\approx2{,}923426 e x_{4}\approx2{,}923610,
f(x_{4})\approx(2{,}923610)^{3}-25\approx1{,}5\times10^{-5},
logo
x_{5} =2{,}923610-\frac{1{,}5\times10^{-5}\,(2{,}923610-2{,}923426)}{1{,}5\times10^{-5}-(-0{,}004699)} \approx2{,}9236094.
Agora \bigl|x_{5}-x_{4}\bigr|\approx5{,}9\times10^{-7}<10^{-4}, atingimos a tolerância.

Resposta

A aproximação de \sqrt[3]{25} pelo método da secante é
x^{*}\approx2{,}92361.

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