Calcule uma aproximação de x^{*}=\sqrt[3]{25} com uma tolerância \varepsilon=10^{-4} pelos métodos:
(ii) Newton-Raphson
Observação: Escolha uma função f(x) apropriada de maneira que x^{*} seja um zero dela. Aplique os métodos sobre f(x).

Passo 1

O enunciado pede para aproximar x^{*}=\sqrt[3]{25} usando o método de Newton–Raphson com tolerância \varepsilon=10^{-4}. O conteúdo é resolução numérica de equação não‐linear por iterações sucessivas. Vamos modelar x^{*} como raiz de uma função adequada e aplicar o algoritmo de Newton.

Passo 2

Escolhemos
f(x)=x^{3}-25,
pois a raiz positiva dessa função satisfaz x^{3}=25. Então
f'(x)=3x^{2},
e a iteração de Newton é
x_{n+1} = x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} = x_{n}-\frac{x_{n}^{3}-25}{3x_{n}^{2}} = \frac{2\,x_{n}+\dfrac{25}{x_{n}^{2}}}{3}.

Passo 3

Escolhemos o chute inicial x_{0}=3 (próximo de \sqrt[3]{27}=3) e iteramos até |x_{n+1}-x_{n}|<10^{-4}:
x_{1} =\frac{2\cdot 3 + \dfrac{25}{3^{2}}}{3} =\frac{6 + \tfrac{25}{9}}{3} \approx 2{,}925925926,
x_{2} =\frac{2\cdot 2{,}925925926 + \dfrac{25}{(2{,}925925926)^{2}}}{3} \approx 2{,}923892284,
x_{3} =\frac{2\cdot 2{,}923892284 + \dfrac{25}{(2{,}923892284)^{2}}}{3} \approx 2{,}924194213,
x_{4} =\frac{2\cdot 2{,}924194213 + \dfrac{25}{(2{,}924194213)^{2}}}{3} \approx 2{,}924157896.
Aqui
|x_{4}-x_{3}|\approx 3{,}63\times 10^{-5} < 10^{-4},
logo atingimos a tolerância exigida.

Resposta

A aproximação de \sqrt[3]{25} pelo método de Newton–Raphson com \varepsilon=10^{-4} é
x\approx 2{,}9242.

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