Considere o método da bisseção. Quantas iterações são necessárias para encontrar uma aproximação da solução de x-0.5(\operatorname{sen}(x)+\cos (x))=0 com 3 casas decimais corretas sendo [0,1] o intervalo inicial.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por bisseção a equação
f(x)=x - 0.5\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr)=0
no intervalo inicial [0,1], de modo a obter três casas decimais corretas na raiz aproximada.

Passo 2

No método da bisseção, após n iterações o comprimento do intervalo de incerteza é
\frac{b-a}{2^n}
e, portanto, o erro em módulo na aproximação satisfaça
|x_n - \alpha|\le \frac{b-a}{2^n}.

Passo 3

Para garantir três casas decimais corretas, queremos
|x_n - \alpha|\le 10^{-3}.
Como a=0 e b=1, isso equivale a
\frac{1-0}{2^n}\le 10^{-3}.

Passo 4

Resolvendo
2^n \ge 10^3
tomando logaritmo em base 2,
n \ge \log_2(10^3)=3\log_2(10)\approx 3\times3,3219\approx 9,966.
Logo, o menor inteiro que satisfaz é n=10.

Resposta

10 iterações.

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