Calcule aproximadamente raiz(0.01)^2+(3.02)^2+(3.97)^2 e estime o erro.

Passo 1

O enunciado pede para calcular aproximadamente
raiz(0.01)^2 + (3.02)^2 + (3.97)^2
usando a ideia de aproximação por expansão linear (diferenciais), já que cada termo está perto de um valor simples.

Passo 2

Definimos a função
f(x,y,z) = raizx^2 + y^2 + z^2
e escolhemos o ponto base (0,3,4), porque (0.01,3.02,3.97) é próximo desse ponto. Então
f(0,3,4) = raiz0^2 + 3^2 + 4^2 = 5

Passo 3

Calculamos o gradiente de f em (0,3,4). Como
partial fpartial x = xf, partial fpartial y = yf, partial fpartial z = zf,
em (0,3,4) temos
partial fpartial x(0,3,4) = 0, partial fpartial y(0,3,4) = 35 = 0.6, partial fpartial z(0,3,4) = 45 = 0.8

Passo 4

As variações são
De<a x = 0.01, De<a y = 0.02, De<a z = -0.03
Logo a variação aproximada de f é
De<a f approx 0cdot0.01 + 0.6cdot0.02 + 0.8cdot(-0.03) = 0.012 - 0.024 = -0.012
Isso dá
f(0.01,3.02,3.97) approx 5 - 0.012 = 4.988

Resposta

approx 4.988 com erro estimado de pm 0.012.

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