Utilize O plano tangente e a diferencial para calcular valores aproximados de f(x, y) e De<a z nos casos a seguir:
z=x e^x^2-y^2 para x=1.01 e y=1.01

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(x,y)=x,e^x^2-y^2
e queremos aproximar f(1.01,1.01) e De<a z usando o plano tangente (ou diferencial) em (1,1). Para isso, vamos precisar de f(1,1), das derivadas parciais fx e fy em (1,1) e dos incrementos De<a x e De<a y.

Passo 2

A função é
f(x,y)=x,e^x^2-y^2
Calculamos primeiro o valor em (1,1):
f(1,1)=1cdot e^1-1=1
As derivadas parciais são
fx=partialpartial xl(x,e^x^2-y^2r) =e^x^2-y^2+xcdot e^x^2-y^2cdot2x =e^x^2-y^2(1+2x^2),
fy=partialpartial yl(x,e^x^2-y^2r) =xcdot e^x^2-y^2cdot(-2y) =-2xy,e^x^2-y^2
Em (1,1) isso dá
fx(1,1)=1cdot(1+2cdot1^2)=3, fy(1,1)=-2cdot1cdot1=-2

Passo 3

Os incrementos são
De<a x=1.01-1=0.01, De<a y=1.01-1=0.01
Pela aproximação linear (diferencial),
De<a zapprox fx(1,1),De<a x+fy(1,1),De<a y =3cdot0.01+(-2)cdot0.01 =0.01

Passo 4

Finalmente, o valor aproximado de f(1.01,1.01) é
f(1.01,1.01)approx f(1,1)+De<a z =1+0.01 =1.01

Resposta

f(1.01,1.01)approx1.01
De<a zapprox0.01

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