Calcule nabla f(x, y, z) nos seguintes casos
f(x, y, z)=(x^2+y^2)^z^2

Passo 1

O enunciado pede o gradiente da função
f(x,y,z)=l(x^2+y^2r)^z^2
Isso envolve o conteúdo de gradiente em R^3, ou seja, calcular as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y e partial fpartial z usando a regra da cadeia e propriedades de exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Para facilitar o uso da regra da cadeia, escrevemos
Assim, se definirmos , temos e
para cada variável .

Passo 3

Calculamos partial fpartial x. Primeiro
partial gpartial x =partialpartial xl(z^2ln(x^2+y^2)r) =z^2,1x^2+y^2cdot 2x =2x,z^2x^2+y^2
Logo,
partial fpartial x =f,2x,z^2x^2+y^2 =2x,z^2,(x^2+y^2)^z^2-1

Passo 4

De modo análogo, para partial fpartial y temos
partial gpartial y =2y,z^2x^2+y^2,
e portanto
partial fpartial y =2y,z^2,(x^2+y^2)^z^2-1

Passo 5

Finalmente, calculamos partial fpartial z. Aqui
partial gpartial z =partialpartial zl(z^2ln(x^2+y^2)r) =2z,ln(x^2+y^2),
e assim
partial fpartial z =f;2z,ln(x^2+y^2) =2z,ln(x^2+y^2),(x^2+y^2)^z^2

Resposta

nabla f(x,y,z) =l( 2x,z^2,(x^2+y^2)^z^2-1,; 2y,z^2,(x^2+y^2)^z^2-1,; 2z,ln(x^2+y^2),(x^2+y^2)^z^2 r)

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