Determine a linearização no ponto x=0, das seguintes funções:
(e) \frac{x}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a linearização no ponto x=0 da função
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\;f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1} e o ponto onde queremos a linearização é x=0.
O que se espera encontrar: a aproximação linear (reta tangente) de f em x=0.

Passo 2

O que é a linearização? Vou explicar de forma simples: a linearização de uma função f em torno de um ponto a é a reta que melhor aproxima f perto de a. A fórmula padrão é
L(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a).
Aqui L(x) é a função linear (a reta), f(a) é o valor da função no ponto de tangência, f'(a) é a derivada de f em a (a inclinação da reta), e (x-a) é a distância horizontal até o ponto. No nosso caso a=0, então a fórmula simplifica para
L(x)=f(0)+f'(0)\,x.
A tarefa agora é calcular f(0) e f'(0).

Passo 3

Calcular f(0). Basta substituir x=0 na expressão de f:
f(0)=\frac{0}{0^{2}+1}=\frac{0}{1}=0.
Portanto f(0)=0.

Passo 4

Agora precisamos de f'(x). Vou calcular a derivada usando a regra do quociente (porque f(x) é uma fração). A regra do quociente para f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} diz:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
No nosso caso podemos tomar u(x)=x e v(x)=x^{2}+1. Então:
  • u'(x)=1 (a derivada de x é 1);
  • v'(x)=2x (a derivada de x^{2}+1 é 2x).
Substituindo na fórmula do quociente:
f'(x)=\frac{1\cdot (x^{2}+1)-x\cdot (2x)}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Simplificar a expressão de f'(x). No numerador:
1\cdot (x^{2}+1)-x\cdot(2x)=x^{2}+1-2x^{2}=1-x^{2}.
Portanto
f'(x)=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 6

Avaliar f'(x) em x=0:
f'(0)=\frac{1-0^{2}}{(0^{2}+1)^{2}}=\frac{1}{1^{2}}=1.
Logo a inclinação da reta tangente em x=0 é 1.

Passo 7

Montar a linearização usando f(0)=0 e f'(0)=1. Pela fórmula
L(x)=f(0)+f'(0)\,x
temos
L(x)=0+1\cdot x=x.
Interpretando: a reta tangente a f em x=0 é a reta y=x. Isso significa que, para x perto de 0, podemos aproximar
\frac{x}{x^{2}+1}\approx x.

Passo 8

Exemplo numérico para ganhar confiança: aproximar f(0,1) usando a linearização. Primeiro, na notação pedida:
x=0,1.
Pela linearização L(0,1)=0,1. O valor exato é
f(0,1)=\frac{0,1}{0,1^{2}+1}=\frac{0,1}{1,01}=\frac{10}{101}\approx 0,0990099\ldots
A aproximação 0,1 está bem próxima de 0,0990099, então a linearização funciona bem para x pequeno.

Resposta

L(x)=x

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