Determine a linearização no ponto
, das seguintes funções:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a linearização no ponto
da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
e o ponto onde queremos a linearização é
.
O que se espera encontrar: a aproximação linear (reta tangente) de em
.
O que se espera encontrar: a aproximação linear (reta tangente) de
Passo 2
O que é a linearização? Vou explicar de forma simples: a linearização de uma função
em torno de um ponto
é a reta que melhor aproxima
perto de
. A fórmula padrão é
Aqui
é a função linear (a reta),
é o valor da função no ponto de tangência,
é a derivada de
em
(a inclinação da reta), e
é a distância horizontal até o ponto. No nosso caso
, então a fórmula simplifica para
A tarefa agora é calcular
e
.
Passo 3
Calcular
. Basta substituir
na expressão de
:
Portanto
.
Passo 4
Agora precisamos de
. Vou calcular a derivada usando a regra do quociente (porque
é uma fração). A regra do quociente para
diz:
No nosso caso podemos tomar
e
. Então:
-
(a derivada de é ); -
(a derivada de é ).
Substituindo na fórmula do quociente:
Passo 5
Simplificar a expressão de
. No numerador:
Portanto
Passo 6
Avaliar
em
:
Logo a inclinação da reta tangente em
é
.
Passo 7
Montar a linearização usando
e
. Pela fórmula
temos
Interpretando: a reta tangente a
em
é a reta
. Isso significa que, para
perto de
, podemos aproximar
Passo 8
Exemplo numérico para ganhar confiança: aproximar
usando a linearização. Primeiro, na notação pedida:
Pela linearização
. O valor exato é
A aproximação
está bem próxima de
, então a linearização funciona bem para
pequeno.