Calcule a área de
sigma(u, v)=(u, 1-u-2 v, v) com u >= 0, v >= 0 e u+2 v <= 1

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície parametrizada por
sigma(u,v) = (u,;1 - u - 2v,;v)
com domínio
D = (u,v)mid u>=0,;v>=0,;u + 2v <= 1
Vamos usar a fórmula da área de uma parametrização:
Área = integral duplaD l|sigmau times sigmavr|,dA Á

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de sigma:
sigmau = partialpartial u(u,;1 - u - 2v,;v) = (1,,-1,,0),
sigmav = partialpartial v(u,;1 - u - 2v,;v) = (0,,-2,,1)

Passo 3

Computar o produto vetorial e seu módulo:
sigmau times sigmav = det i & j & k 1 & -1 & 0 0 & -2 & 1 = (-1,,-1,,-2)
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l|sigmau times sigmavr| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = raiz6

Passo 4

O domínio D é o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e l(0,tfrac12r). A área desse triângulo vale
Área(D) = 12times (base=1)times (a<ura=tfrac12) = 14 Á

Passo 5

Substituindo na integral:
Área = integral duplaD raiz6,dA = raiz6;Área(D) = raiz6times 14 = raiz64 ÁÁ

Resposta

raiz64

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