Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada.
(x^2+y^2) d x+2 x y d y=0 ; y(3)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a seguinte equação diferencial:
(x^2 + y^2) , dx + 2xy , dy = 0
E a condição inicial é y(3) = 1 . A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução particular que satisfaz a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções M e N na nossa equação diferencial, que geralmente estão na forma:
M , dx + N , dy = 0
No nosso caso:
M = x^2 + y^2 e N = 2xy

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, a gente verifica se as derivadas parciais cruzadas são iguais:
partial Mpartial y e partial Npartial x
Calculando:
partial Mpartial y = 2y e partial Npartial x = 2y
Como partial Mpartial y = partial Npartial x , a equação é realmente exata!

Passo 4

Agora que sabemos que é exata, vamos encontrar a função potencial Psi(x, y) tal que:
partial Psipartial x = M e partial Psipartial y = N
Vamos começar integrando M em relação a x :
Psi(x, y) = integral M , dx = integral (x^2 + y^2) , dx = 13x^3 + y^2x + h(y)
Aqui, h(y) é uma função de y que aparece pela integração.

Passo 5

Para encontrar h(y) , vamos derivar Psi(x, y) em relação a y e igualar a N :
partial Psipartial y = 2yx + h'(y) = 2xy
Isso simplifica para:
h'(y) = 0
Integrando h'(y) , temos:
h(y) = C
onde C é uma constante.

Passo 6

Então, a função potencial completa fica:
Psi(x, y) = 13x^3 + y^2x = C
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Agora, vamos aplicar a condição inicial y(3) = 1 para encontrar a constante C :
13(3)^3 + (1)^2(3) = C
Calculando:
13(27) + 3 = 9 + 3 = 12
Então, C = 12 .

Passo 8

Com a constante encontrada, a solução particular da equação diferencial é:
13x^3 + y^2x = 12
Se preferir, podemos isolar y :
y^2x = 12 - 13x^3 implies y^2 = 12x - 13x^2 implies y = raiz12x - 13x^2

Resposta

A solução particular que satisfaz a condição inicial y(3) = 1 é:
13x^3 + y^2x = 12

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