Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a seguinte equação diferencial:
E a condição inicial é
. A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais exatas. Vamos precisar verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução particular que satisfaz a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na nossa equação diferencial, que geralmente estão na forma:
No nosso caso:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, a gente verifica se as derivadas parciais cruzadas são iguais:
Calculando:
Como
, a equação é realmente exata!
Passo 4
Agora que sabemos que é exata, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Vamos começar integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece pela integração.
Passo 5
Para encontrar
, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Isso simplifica para:
Integrando
, temos:
onde
é uma constante.
Passo 6
Então, a função potencial completa fica:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar a constante
:
Calculando:
Então,
.
Passo 8
Com a constante encontrada, a solução particular da equação diferencial é:
Se preferir, podemos isolar
:
Resposta
A solução particular que satisfaz a condição inicial
é: