Considere uma curva simples (sem auto intersecção) gamma no semiplano y>0, e considere a superfícic de revolução obtida ao rotacionar a curva cm torno do cixo x.
Encontre uma parametrização para essa superfície

Passo 1

O enunciado pede para construir uma parametrização de uma superfície de revolução obtida ao girar uma curva simples gamma contida no semiplano y>0 em torno do eixo x.
Conteúdo: entender superfícies paramétricas e, em particular, superfícies de revolução. Para isso precisamos de uma parametrização da curva gamma no plano xy e de um segundo parâmetro angular que descreva a rotação em torno do eixo x.

Passo 2

Seja
gammacolon [a,b]to R^2, gamma(t) = l(x(t),,y(t)r),
com y(t)>0 para todo tin[a,b]. Ao girar gamma em torno de x, introduzimos um ângulo thetain[0,2pi]. A parametrização da superfície de revolução é então
Phicolon [a,b]times[0,2pi];longrightarrow;R^3
Phi(t,theta) =l(x(t),;y(t)costheta,;y(t)sinthetar)
Nessa parametrização, t percorre a curva original e theta gira o ponto ao redor do eixo x.

Resposta

Phi(t,theta) =l(x(t),,y(t)costheta,,y(t)sinthetar), tin[a,b],;thetain[0,2pi]

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