Calcule a área de
sigma(u, v)=(u, v, u^2+v^2) com |(u, v)| <= 2

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície parametrizada por
sigma(u,v)=(u,v,u^2+v^2)
sobre o disco (u,v)mid u^2+v^2<=4.
Este é um problema de área de superfície em coordenadas paramétricas, onde vamos usar a fórmula
A=integral duplaD|sigmautimessigmav|;du,dv

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
sigmau=(1,0,2u), sigmav=(0,1,2v)
O produto vetorial é
sigmautimessigmav =(1,0,2u)times(0,1,2v) =(-2u,,-2v,,1),
e seu comprimento é
|sigmautimessigmav| =raiz(-2u)^2+(-2v)^2+1^2 =raiz1+4u^2+4v^2
Logo
A =integral duplau^2+v^2<=4raiz1+4(u^2+v^2);du,dv

Passo 3

Passamos a coordenadas polares u=rcostheta, v=rsintheta, com 0<= r<=2, 0<=theta<=2pi. O jacobiano é r, então
A =integral0^2piintegral0^2 raiz1+4r^2;r,dr,dtheta

Passo 4

Focamos no integral em r:
integral0^2rraiz1+4r^2,dr
Façamos t=1+4r^2, de onde dt=8r,dr e r,dr=tfracdt8. Quando r=0, t=1; quando r=2, t=17. Assim,
integral0^2rraiz1+4r^2,dr =18integral1^17t^1/2,dt =18cdot23l[t^3/2r]1^17 =112l(17^3/2-1r)

Passo 5

Voltam-se os theta:
A =integral0^2pidtheta;times;112l(17^3/2-1r) =2picdot112l(17^3/2-1r) =pi6l(17^3/2-1r)

Resposta

boxedA=pi6l(17raiz17-1r)

Exercícios relacionados