Calcule a área abaixo do gráfico de f entre a e b, se: f(x)=4 x+x^3, a=0, b=2

Passo 1

O enunciado pede a área sob o curva da função f(x)=4x+x^3 no intervalo de a=0 até b=2. O conteúdo aqui é integral definida e vamos precisar do teorema fundamental do cálculo e de antiderivadas.

Passo 2

A área sob a curva entre a e b é dada por integrala^b f(x),dx. No nosso caso, queremos calcular
integral0^2 (4x + x^3),dx

Passo 3

Para resolver essa integral, encontramos uma antiderivada de f(x). Sabemos que
integral 4x,dx = 2x^2
e
integral x^3,dx = tfracx^44
Portanto, uma antiderivada é
F(x) = 2x^2 + tfracx^44

Passo 4

Pelo teorema fundamental do cálculo,
integral0^2 f(x),dx = F(2) - F(0)
Calculando:
F(2) = 2cdot2^2 + tfrac2^44 = 8 + 4 = 12,
e
F(0) = 0
Logo,
integral0^2 (4x + x^3),dx = 12

Resposta

12

Exercícios relacionados