Calcule as seguintes integrais indefinidas: integral 1sin x-cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 1sin x - cos x,dx. O conteúdo é integração de funções trigonométricas, e vamos precisar usar uma identidade que combine sin x e cos x, além do conhecimento da integral de csc u.

Passo 2

Podemos usar a identidade de soma de seno e cosseno do tipo asin x + bcos x = Rsin(x+phi). No caso a=1 e b=-1 temos
R=raiz1^2+(-1)^2=raiz2, phi=-tfracpi4,
logo
sin x - cos x = raiz2,sinl(x-tfracpi4r)

Passo 3

Substituindo isso na integral, obtemos
integral 1sin x - cos x,dx = integral 1raiz2,sinl(x-tfracpi4r),dx = 1raiz2integral cscl(x-tfracpi4r),dx

Passo 4

Agora fazemos a substituição u = x - tfracpi4, de modo que du = dx. A integral vira
1raiz2integral csc u,du

Passo 5

Lembrando que a integral de csc u é
integral csc u,du = lnl|tan(tfracu2)r| + C,
concluímos que
1raiz2integral csc u,du = 1raiz2lnl|tanl(tfracu2r)r| + C

Passo 6

Voltando à variável original x, com u = x - tfracpi4, temos o resultado final:
1raiz2lnl|tanl(tfracx2-tfracpi8r)r| + C

Resposta

1raiz2lnl|tanl(tfracx-pi/42r)r|+C

Exercícios relacionados