Calcule a área abaixo do gráfico de f(x)=x^{3} e acima da reta y=0, para 1 \leq x \leq 4.

Passo 1

O enunciado nos pede a área sob o gráfico de f(x)=x^3 e acima de y=0 no intervalo 1\le x\le4. O conteúdo aqui é cálculo de integral definida para achar a área entre a curva e o eixo x.

Passo 2

Como f(x)=x^3\ge0 em todo o intervalo [1,4], a área é dada por
A = \int_{1}^{4} x^3 \, dx.

Passo 3

Precisamos de uma antiderivada de x^3. Uma escolha simples é
F(x) = \frac{x^4}{4},
pois \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{x^4}{4}\bigr)=x^3.

Passo 4

Aplicando os limites de 1 a 4 em F(x), temos
A = F(4) - F(1) = \frac{4^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{256}{4} - \frac{1}{4} = \frac{255}{4}.

Resposta

A área é \frac{255}{4}.

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