Calcule:
\int_{0}^{\pi} \frac{d}{d x}[x \sin (\sin (\sin (\sin (x))))] d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\pi} \frac{d}{dx}\bigl[x\,\sin\bigl(\sin\bigl(\sin(\sin(x))\bigr)\bigr)\bigr]\,dx.
Esse é um caso clássico de integral da derivada de uma função. Usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Se definirmos
f(x)=x\,\sin\bigl(\sin\bigl(\sin(\sin(x))\bigr)\bigr),
então
\int_{0}^{\pi} \frac{d}{dx}[f(x)]\,dx = f(\pi)-f(0).

Passo 3

Vamos calcular f(\pi) e f(0). Primeiro,
\sin(\pi)=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin(\sin(\sin(\sin(\pi))))=\sin(\sin(\sin(0)))=\sin(\sin(0))=\sin(0)=0.
Logo
f(\pi)=\pi\cdot 0 = 0.
De modo análogo, em x=0 temos \sin(0)=0, assim
f(0)=0\cdot \sin(\sin(\sin(\sin(0))))=0\cdot 0 = 0.

Resposta

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