Problema 4 (3 pontos). Para resolve o PVI
faça os itens a seguir:
(a) Utilize as equações do sistema para concluir que
.
(b) Utilize as equações do sistema para concluir que
e, em seguida, resolva o PVI para a função
.
(c) Encontre a função
.
(a) Utilize as equações do sistema para concluir que
(b) Utilize as equações do sistema para concluir que
(c) Encontre a função
Passo 1
O enunciado nos dá o PVI
O objetivo é (a) deduzir uma EDO de segunda ordem para
, (b) obter
e resolver o PVI para
e (c) usar
para achar
.
Passo 2
Para (a) derivamos
em relação a
:
Como
, substituímos:
logo
Passo 3
Para (b) avaliamos
Temos então o PVI
A solução geral da homogênea é
Procuramos um particular da forma
. Substituindo em
dá
Logo
Aplicando as condições iniciais:
Portanto
Passo 4
Para (c) usamos
reescrevendo
Como
segue