Problema 4 (3 pontos). Para resolve o PVI
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=-z+e^{x} \\\ z^{\prime}=y+2 e^{x} \\\ y(0)=1, z(0)=-1 \end{array}\right.
faça os itens a seguir:
(a) Utilize as equações do sistema para concluir que y^{\prime \prime}+y=-e^{x}.
(b) Utilize as equações do sistema para concluir que y^{\prime}(0)=2 e, em seguida, resolva o PVI para a função y.
(c) Encontre a função z.

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
\begin{cases} y'=-z+e^x,\\\ z'=y+2e^x,\\\ y(0)=1,\quad z(0)=-1. \end{cases}
O objetivo é (a) deduzir uma EDO de segunda ordem para y, (b) obter y'(0) e resolver o PVI para y e (c) usar y para achar z.

Passo 2

Para (a) derivamos y'=-z+e^x em relação a x:
y''=-z'+e^x.
Como z'=y+2e^x, substituímos:
y''=-(y+2e^x)+e^x=-y-2e^x+e^x=-y-e^x,
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y''+y=-e^x.

Passo 3

Para (b) avaliamos
y'(0)=-z(0)+e^0=-(-1)+1=2.
Temos então o PVI
y''+y=-e^x,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=2.
A solução geral da homogênea é
y_h=A\cos x+B\sin x.
Procuramos um particular da forma y_p=a e^x. Substituindo em y''+y=-e^x
a e^x+a e^x=2a e^x=-e^x\implies a=-\tfrac12.
Logo
y=A\cos x+B\sin x-\tfrac12e^x.
Aplicando as condições iniciais:
y(0)=A-\tfrac12=1\implies A=\tfrac32,
y'(x)=-A\sin x+B\cos x-\tfrac12e^x\implies y'(0)=B-\tfrac12=2\implies B=\tfrac52.
Portanto
y(x)=\tfrac32\cos x+\tfrac52\sin x-\tfrac12e^x.

Passo 4

Para (c) usamos y'=-z+e^x reescrevendo
z=e^x-y'.
Como
y'=-\tfrac32\sin x+\tfrac52\cos x-\tfrac12e^x,
segue
z(x)=e^x-\Bigl(-\tfrac32\sin x+\tfrac52\cos x-\tfrac12e^x\Bigr) =\tfrac32\sin x-\tfrac52\cos x+\tfrac32e^x.

Resposta

y(x)=\tfrac32\cos x+\tfrac52\sin x-\tfrac12e^x, \quad z(x)=\tfrac32\sin x-\tfrac52\cos x+\tfrac32e^x.

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