Calcule a área acima do eixo x e abaixo do gráfico da função x e^{-x^{2}} para 0 \leq x \leq 1.
Talvez seja útil: 4 x^{3}-12 x-8=(x-2)\left(4 x^{2}+8 x+4\right)=(x-2)(x-1)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelo eixo x e pelo gráfico de y=x e^{-x^{2}} no intervalo 0\le x\le1. Isso equivale a calcular a integral definida da função x e^{-x^{2}} de 0 a 1. O conteúdo principal é o cálculo de integral definida usando substituição simples.

Passo 2

Escrevemos a área como
\text{Área}=\int_{0}^{1}x e^{-x^{2}}\,dx.Á
Para resolver essa integral, façamos a substituição \displaystyle u=-x^{2}, o que implica \displaystyle du=-2x\,dx e, portanto, \displaystyle x\,dx=-\tfrac12\,du.
Substituindo em \int x e^{-x^{2}}\,dx, temos
\int x e^{-x^{2}}\,dx =\int e^{u}\,\bigl(-\tfrac12\,du\bigr) =-\tfrac12\int e^{u}\,du =-\tfrac12 e^{u}+C =-\tfrac12 e^{-x^{2}}+C.

Passo 3

Agora avaliamos a antiderivada -\tfrac12 e^{-x^{2}} de 0 a 1:
\int_{0}^{1}x e^{-x^{2}}\,dx =\Bigl[-\tfrac12 e^{-x^{2}}\Bigr]_{0}^{1} =-\tfrac12\bigl(e^{-1}-e^{0}\bigr) =-\tfrac12\bigl(e^{-1}-1\bigr) =\tfrac12\bigl(1-e^{-1}\bigr).

Resposta

\frac{1-e^{-1}}{2}.

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