Resolva as integrais abaixo.
(1.0) \int_{1}^{2} x^{3} \sqrt{x^{2}+1} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1}^{2} x^{3}\sqrt{x^{2}+1}\,dx.
O conteúdo aqui é técnica de substituição em integrais de funções compostas. Vamos usar a substituição \displaystyle u = x^{2}+1
para transformar a integral em uma forma mais simples.

Passo 2

Definindo
u = x^{2}+1,
temos
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Além disso, x^{2} = u-1. Logo,
x^{3}\,dx = x^{2}\cdot x\,dx = (u-1)\,\frac{du}{2}.

Passo 3

Também mudamos os limites de integração:
quando x=1, u = 1^{2}+1 = 2;
quando x=2, u = 2^{2}+1 = 5.
Assim a integral fica
\int_{1}^{2} x^{3}\sqrt{x^{2}+1}\,dx = \int_{u=2}^{u=5} (u-1)\,\frac{1}{2}\,\sqrt{u}\,du = \frac{1}{2}\int_{2}^{5}(u-1)\,u^{\tfrac12}\,du.

Passo 4

Expandindo o integrando:
(u-1)\,u^{\tfrac12} = u^{\tfrac32} - u^{\tfrac12}.
Portanto
\frac{1}{2}\int_{2}^{5}(u^{\tfrac32}-u^{\tfrac12})\,du = \frac{1}{2}\Bigl[ \int_{2}^{5}u^{\tfrac32}\,du - \int_{2}^{5}u^{\tfrac12}\,du \Bigr].

Passo 5

Calculamos cada integral:
\int u^{\tfrac32}\,du = \frac{u^{\tfrac{5}{2}}}{\tfrac{5}{2}} = \frac{2}{5}u^{\tfrac{5}{2}}, \quad \int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac{3}{2}}}{\tfrac{3}{2}} = \frac{2}{3}u^{\tfrac{3}{2}}.
Logo
\frac{1}{2}\Bigl[ \frac{2}{5}u^{\tfrac{5}{2}} - \frac{2}{3}u^{\tfrac{3}{2}} \Bigr] = \frac{1}{5}u^{\tfrac{5}{2}} - \frac{1}{3}u^{\tfrac{3}{2}}
avaliado de u=2 a u=5.

Passo 6

Substituindo os limites:
\Bigl(\frac{1}{5}5^{\tfrac{5}{2}} - \frac{1}{3}5^{\tfrac{3}{2}}\Bigr) - \Bigl(\frac{1}{5}2^{\tfrac{5}{2}} - \frac{1}{3}2^{\tfrac{3}{2}}\Bigr).
Observe que
5^{\tfrac{5}{2}}=5\cdot5^{\tfrac{3}{2}}, \quad 5^{\tfrac{3}{2}}=5\sqrt{5}, \quad 2^{\tfrac{5}{2}}=4\sqrt{2}, \quad 2^{\tfrac{3}{2}}=2\sqrt{2}.
Então o resultado é
\frac{1}{5}\cdot5\sqrt{5}\cdot5 -\frac{1}{3}\cdot5\sqrt{5} -\frac{1}{5}\cdot4\sqrt{2} +\frac{1}{3}\cdot2\sqrt{2} = \frac{2}{3}\,5^{\tfrac{3}{2}} -\frac{4\sqrt{2}}{5} +\frac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 7

Para simplificar ainda mais, note que
\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{4\sqrt{2}}{5} =\frac{10\sqrt{2}-12\sqrt{2}}{15} =-\frac{2\sqrt{2}}{15},
e que 5^{\tfrac{3}{2}}=5\sqrt{5}. Logo o valor final é
\frac{10\sqrt{5}}{3} -\frac{2\sqrt{2}}{15}.

Resposta

\int_{1}^{2} x^{3}\sqrt{x^{2}+1}\,dx = \frac{10\sqrt{5}}{3} -\frac{2\sqrt{2}}{15}.

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