Calcule
\int_{0}^{2 \pi} \frac{\cos x}{2+\operatorname{sen} x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{2\pi} \frac{\cos x}{2+\sin x}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição, aproveitando que a derivada de \sin x é \cos x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2 + \sin x,
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du = \cos x\,dx.
Assim, a integral torna-se
\int \frac{\cos x}{2+\sin x}\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C = \ln\lvert 2+\sin x\rvert + C.

Passo 3

Agora avaliamos de 0 a 2\pi:
F(x) = \ln\bigl(2+\sin x\bigr) \quad\Longrightarrow\quad F(2\pi)-F(0) = \ln(2+\sin(2\pi)) - \ln(2+\sin 0) = \ln 2 - \ln 2 = 0.

Resposta

0

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