De um tetraedro regular de aresta
, calcule:
(a) a área total;
(b) a altura;
(c) o volume.
(a) a área total;
(b) a altura;
(c) o volume.
Passo 1
O enunciado dá um tetraedro regular cuja aresta tem comprimento
e pede três coisas:
(a) a área total da superfície do tetraedro;
(b) a altura do tetraedro (distância de um vértice ao plano da face oposta);
(c) o volume do tetraedro.
(a) a área total da superfície do tetraedro;
(b) a altura do tetraedro (distância de um vértice ao plano da face oposta);
(c) o volume do tetraedro.
Informações importantes que temos (diretamente do enunciado):
- Todas as arestas do tetraedro têm comprimento
. - Cada face é um triângulo equilátero de lado
.
Passo 2
Vamos começar estudando o triângulo equilátero — porque cada face do tetraedro é um triângulo equilátero e suas propriedades serão usadas em (a), (b) e (c).
Considere um triângulo equilátero de lado
. Se traçarmos a altura desse triângulo, ela divide o lado em duas partes iguais de comprimento
e forma um triângulo retângulo com hipotenusa
e catetos
e a altura do triângulo, que chamaremos de
.
Pelo Teorema de Pitágoras, temos
Calculemos passo a passo:
portanto
A área de um triângulo é
área
. Aplicando ao triângulo equilátero (base
, altura
):
Aqui
é a área de uma face (um triângulo equilátero).
Passo 3
Agora resolvemos (a) — a área total do tetraedro.
Um tetraedro regular tem 4 faces congruentes, cada uma com área
. Logo a área total
é
Faremos a simplificação no próximo passo (manterei a estrutura de raciocínio clara).
Passo 4
Simplificando a expressão da área total obtida no passo anterior:
Portanto a área total é
.
Passo 5
Agora vamos para (b) — calcular a altura do tetraedro. Vou explicar a geometria que usamos.
Escolha uma face como base (um triângulo equilátero). O pé da altura do tetraedro (a projeção do vértice oposto sobre o plano da base) fica no centroide do triângulo equilátero (em triângulos equiláteros centroide = baricentro = circuncentro = incentro).
A distância do centroide até um dos vértices da base (no plano da base) é igual a dois terços da altura do triângulo equilátero. Ou seja, se
é a altura do triângulo, a distância do centroide ao vértice é
Substituímos
(do Passo 2):
Aqui
é a distância no plano da base entre o centroide e qualquer vértice da base.
No espaço, considere o triângulo retângulo formado pelo vértice superior, pelo centroide da base e por um vértice da base. Nesse triângulo retângulo:
- a hipotenusa é a aresta do tetraedro, comprimento
(do vértice superior até o vértice da base); - um cateto é
(distância no plano da base); - o outro cateto é a altura do tetraedro, que chamaremos de
.
Pelo Teorema de Pitágoras:
Substituímos
:
logo
Passo 6
Agora (c) — o volume. Um tetraedro é uma pirâmide com base triangular; o volume de uma pirâmide é
Aqui a base é um triângulo equilátero com área
(Passo 2) e a altura da pirâmide é
(Passo 5). Substituindo:
Agora vamos simplificar cuidadosamente essa expressão passo a passo.
Multiplicando os coeficientes:
e multiplicando as raízes:
Então
Uma forma alternativa (equivalente) que às vezes aparece é
porque
.
Resposta
(a)
(b)
(c)