De um tetraedro regular de aresta a, calcule:
(a) a área total;
(b) a altura;
(c) o volume.

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro regular cuja aresta tem comprimento a e pede três coisas:
(a) a área total da superfície do tetraedro;
(b) a altura do tetraedro (distância de um vértice ao plano da face oposta);
(c) o volume do tetraedro.
Informações importantes que temos (diretamente do enunciado):
  • Todas as arestas do tetraedro têm comprimento a.
  • Cada face é um triângulo equilátero de lado a.

Passo 2

Vamos começar estudando o triângulo equilátero — porque cada face do tetraedro é um triângulo equilátero e suas propriedades serão usadas em (a), (b) e (c).
Considere um triângulo equilátero de lado a. Se traçarmos a altura desse triângulo, ela divide o lado em duas partes iguais de comprimento a/2 e forma um triângulo retângulo com hipotenusa a e catetos a/2 e a altura do triângulo, que chamaremos de h_{\text{tri}}.
Pelo Teorema de Pitágoras, temos
h_{\text{tri}}^{2} = a^{2} - \left(\frac{a}{2}\right)^{2}.
Calculemos passo a passo:
\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{4},
h_{\text{tri}}^{2}=a^{2}-\frac{a^{2}}{4}=\frac{3}{4}a^{2},
portanto
h_{\text{tri}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,a.
A área de um triângulo é área =\dfrac{\text{base}\times\text{altura}}{2}. Aplicando ao triângulo equilátero (base =a, altura =h_{\text{tri}}):
A_{\text{face}}=\frac{a\cdot h_{\text{tri}}}{2}=\frac{a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2}.
Aqui A_{\text{face}} é a área de uma face (um triângulo equilátero).

Passo 3

Agora resolvemos (a) — a área total do tetraedro.
Um tetraedro regular tem 4 faces congruentes, cada uma com área A_{\text{face}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}. Logo a área total S é
S = 4\cdot A_{\text{face}} = 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2}.
Faremos a simplificação no próximo passo (manterei a estrutura de raciocínio clara).

Passo 4

Simplificando a expressão da área total obtida no passo anterior:
S = 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2} = \sqrt{3}\,a^{2}.
Portanto a área total é \sqrt{3}\,a^{2}.

Passo 5

Agora vamos para (b) — calcular a altura do tetraedro. Vou explicar a geometria que usamos.
Escolha uma face como base (um triângulo equilátero). O pé da altura do tetraedro (a projeção do vértice oposto sobre o plano da base) fica no centroide do triângulo equilátero (em triângulos equiláteros centroide = baricentro = circuncentro = incentro).
A distância do centroide até um dos vértices da base (no plano da base) é igual a dois terços da altura do triângulo equilátero. Ou seja, se h_{\text{tri}} é a altura do triângulo, a distância do centroide ao vértice é
r = \frac{2}{3}\,h_{\text{tri}}.
Substituímos h_{\text{tri}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a (do Passo 2):
r = \frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\,a = \frac{\sqrt{3}}{3}\,a.
Aqui r é a distância no plano da base entre o centroide e qualquer vértice da base.
No espaço, considere o triângulo retângulo formado pelo vértice superior, pelo centroide da base e por um vértice da base. Nesse triângulo retângulo:
  • a hipotenusa é a aresta do tetraedro, comprimento a (do vértice superior até o vértice da base);
  • um cateto é r=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a (distância no plano da base);
  • o outro cateto é a altura do tetraedro, que chamaremos de H.
Pelo Teorema de Pitágoras:
H^{2} + r^{2} = a^{2}.
Substituímos r^{2}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}a\right)^{2}=\dfrac{1}{3}a^{2}:
H^{2} = a^{2} - \frac{1}{3}a^{2} = \frac{2}{3}a^{2},
logo
H = a\sqrt{\frac{2}{3}}.

Passo 6

Agora (c) — o volume. Um tetraedro é uma pirâmide com base triangular; o volume de uma pirâmide é
V = \frac{1}{3}\,(\text{área da base})\times(\text{altura}).á
Aqui a base é um triângulo equilátero com área A_{\text{face}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2} (Passo 2) e a altura da pirâmide é H=a\sqrt{\dfrac{2}{3}} (Passo 5). Substituindo:
V = \frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}.
Agora vamos simplificar cuidadosamente essa expressão passo a passo.
Multiplicando os coeficientes:
\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12},
e multiplicando as raízes:
\sqrt{3}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{ \,3\cdot\frac{2}{3}\, }=\sqrt{2}.
Então
V=\frac{1}{12}\,\sqrt{2}\,a^{3} = \frac{\sqrt{2}}{12}\,a^{3}.
Uma forma alternativa (equivalente) que às vezes aparece é
V=\frac{a^{3}}{6\sqrt{2}},
porque \dfrac{\sqrt{2}}{12}=\dfrac{1}{6\sqrt{2}}.

Resposta

(a) \sqrt{3}\,a^{2}
(b) a\sqrt{\dfrac{2}{3}}
(c) \dfrac{\sqrt{2}}{12}\,a^{3}

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