Calcule a área de cada uma das seguintes superfícies.
a) Superfície do cilindro x^2 + y^2 = 2 x limitada pelo plano z = 0 e o cone z = raiz(x^2 + y^2).
b) Superfície do cone z^2 = x^2 + y^2 situada entre os planos z = 0 e x + 2 z = 3.
c) Superfície do sólido limitado pelo cone z^2 = x^2 + y^2 e a parte superior da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1
d) Superfície da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 12 que não se encontra no interior do paraboloide z = x^2 + y^2
e) Parte superior da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 situada no interior do cilindro (x^2 + y^2)^2 = x^2 - y^2
f) Superfície do paraboloide z = 5 - (x^2 / 2) - y^2 que se encontra no interior do cilindro x^2 + 4y^2 = 4
g) Superfície da esfera de raio a centrada na origem limitada por dois paralelos e dois meridianos, sabendo-se que o ângulo entre os meridianos é alpha e a distância entre os planos que contém os paralelos é h.

Passo 1

Então, vamos resolver a parte a) do exercício: calcular a área da superfície do cilindro que está limitada pelo plano e pelo cone . Aqui, estamos trabalhando com geometria espacial, especificamente com superfícies curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar o cilindro e usar integrais para encontrar a área da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a equação do cilindro . Podemos completar o quadrado para reescrever essa equação. Subtraindo 2x de ambos os lados, temos:
Completando o quadrado para o termo em x:
Isso nos mostra que o cilindro é na verdade um cilindro circular de raio 1, cujo eixo está deslocado para x = 1.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar o cilindro. Como é um cilindro circular, podemos usar coordenadas cilíndricas. Definimos:
Onde varia de 0 a . O z varia de 0 (plano) até (cone).

Passo 4

Vamos expressar o limite superior em termos de . Substituindo x e y nas equações:
Usaremos isso como limite superior para z.

Passo 5

A fórmula para a área da superfície em coordenadas cilíndricas é:
Á
Mas como nosso cilindro está parametrizado em e z, simplificamos para:
Á
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 6

Substituindo na integral:
Á
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica :
Porque é positivo no intervalo de 0 a .

Passo 7

Agora, a integral se torna:
Á
Fazendo a substituição , então , ou . Os limites de integração mudam para a :
Á
Parece que houve um erro. Na verdade, a integral correta é:
Á
Isso indica que precisamos reconsiderar a parametrização ou os limites.

Passo 8

Vamos corrigir a parametrização. A área da superfície lateral de um cilindro é dada por:
Áí
Aqui, o perímetro da base é , onde , e a altura varia com . Portanto:
Á
A integral correta para a área será:
Á

Resposta

A área da superfície do cilindro limitada pelo plano e pelo cone é 8 unidades de área.

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