Calcule a área de cada uma das seguintes superfícies.
a) Superfície do cilindro
limitada pelo plano
e o cone
.
b) Superfície do cone
situada entre os planos
e
.
c) Superfície do sólido limitado pelo cone
e a parte superior da esfera
d) Superfície da esfera
que não se encontra no interior do paraboloide
e) Parte superior da esfera
situada no interior do cilindro
f) Superfície do paraboloide
que se encontra no interior do cilindro
g) Superfície da esfera de raio a centrada na origem limitada por dois paralelos e dois meridianos, sabendo-se que o ângulo entre os meridianos é
e a distância entre os planos que contém os paralelos é
.
a) Superfície do cilindro
b) Superfície do cone
c) Superfície do sólido limitado pelo cone
d) Superfície da esfera
e) Parte superior da esfera
f) Superfície do paraboloide
g) Superfície da esfera de raio a centrada na origem limitada por dois paralelos e dois meridianos, sabendo-se que o ângulo entre os meridianos é
Passo 1
Então, vamos resolver a parte a) do exercício: calcular a área da superfície do cilindro
que está limitada pelo plano
e pelo cone
. Aqui, estamos trabalhando com geometria espacial, especificamente com superfícies curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar o cilindro e usar integrais para encontrar a área da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos facilitar a equação do cilindro
. Podemos completar o quadrado para reescrever essa equação. Subtraindo 2x de ambos os lados, temos:
Completando o quadrado para o termo em x:
Isso nos mostra que o cilindro é na verdade um cilindro circular de raio 1, cujo eixo está deslocado para x = 1.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar o cilindro. Como é um cilindro circular, podemos usar coordenadas cilíndricas. Definimos:
Onde
varia de 0 a
. O z varia de 0 (plano) até
(cone).
Passo 4
Vamos expressar o limite superior em termos de
. Substituindo x e y nas equações:
Usaremos isso como limite superior para z.
Passo 5
A fórmula para a área da superfície em coordenadas cilíndricas é:
Mas como nosso cilindro está parametrizado em
e z, simplificamos para:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 6
Substituindo na integral:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica
:
Porque
é positivo no intervalo de 0 a
.
Passo 7
Agora, a integral se torna:
Fazendo a substituição
, então
, ou
. Os limites de integração mudam para
a
:
Parece que houve um erro. Na verdade, a integral correta é:
Isso indica que precisamos reconsiderar a parametrização ou os limites.
Passo 8
Vamos corrigir a parametrização. A área da superfície lateral de um cilindro é dada por:
Aqui, o perímetro da base é
, onde
, e a altura varia com
. Portanto:
A integral correta para a área será:
Resposta
A área da superfície do cilindro limitada pelo plano
e pelo cone
é 8 unidades de área.