Encontre a solução geral de cada equação: y' + 2 sen(2 x) y = 2 e^(cos(2 x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, identificamos os componentes da equação na forma padrão . No nosso caso:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante ( ). Ele é calculado usando a fórmula:
Então, vamos integrar :
Portanto,

Passo 4

Em seguida, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto :
Agora, integraremos ambos os lados em relação a :

Passo 6

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação é:

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