a) Encontre uma parametrização para o hiperboloide .
b) Encontre uma expressão para um vetor normal à esta superfície.
c) Encontre a equação do plano tangente à superfície em .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação de um hiperboloide: . A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre superfícies quádricas e vetores normais. Precisaremos entender como parametrizar superfícies e calcular vetores normais, além de usar derivadas para achar a equação do plano tangente.
Passo 2
Parte a) Primeiro, vamos encontrar uma parametrização para o hiperboloide .
Uma parametrização é uma forma de expressar as coordenadas , e em função de outras variáveis, geralmente e , que variam livremente. Para o hiperboloide de uma folha, podemos usar as seguintes fórmulas:
Aqui, é um parâmetro real que controla a “posição” ao longo do hiperboloide, e é um ângulo que gira ao redor do eixo .
Passo 3
Parte b) Agora, vamos encontrar uma expressão para um vetor normal à superfície do hiperboloide.
Um vetor normal é perpendicular à superfície em um ponto específico. Para encontrar isso, podemos calcular o gradiente da função que define a superfície. Se temos , então o gradiente será:
Então, um vetor normal à superfície é .
Passo 4
Parte c) Por fim, vamos achar a equação do plano tangente à superfície no ponto .
Primeiro, verificamos que esse ponto está na superfície: substituindo na equação do hiperboloide, temos , o que satisfaz .
A equação do plano tangente pode ser encontrada usando o vetor normal no ponto dado. Usando o vetor normal , a equação do plano é:
Simplificando:
Como , substituímos:
Ou, dividindo por 2:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto é .