Calcule a área de cada superfície abaixo
A parte do plano x+2 y+3 z=6 que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=3

Passo 1

O enunciado pede a área da porção do plano
x + 2y + 3z = 6
que fica sobre o cilindro reto
x^2 + y^2 = 3.
Como esse trecho de plano pode ser escrito como gráfico de uma função z = f(x,y), usamos a fórmula de área de superfície
A = \iint_{D} \sqrt{1 + \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr)^2}\,dA,
onde D é a projeção desse pedaço de plano no plano xy.

Passo 2

Da equação do plano temos
3z = 6 - x - 2y \quad\Longrightarrow\quad z = f(x,y) = \frac{6 - x - 2y}{3}.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{1}{3}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{2}{3}.

Passo 3

O integrando fica constante:
\sqrt{1 + \Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr)^2 + \Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr)^2} = \sqrt{1 + \tfrac{1}{9} + \tfrac{4}{9}} = \sqrt{\tfrac{14}{9}} = \frac{\sqrt{14}}{3}.
Logo
A = \iint_{D} \frac{\sqrt{14}}{3}\,dA = \frac{\sqrt{14}}{3}\,\iint_{D} dA.

Passo 4

A região D é o disco x^2 + y^2 \le 3. Sua área é
\text{Area}(D) = \pi \,(\sqrt{3})^2 = 3\pi.

Passo 5

Substituindo em A
A = \frac{\sqrt{14}}{3} \times 3\pi = \pi \sqrt{14}.

Resposta

\pi \sqrt{14}

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