Questão (
pts) Considere a superfície de equação
(a)
Escreva a equação geral do plano tangente a essa superfície no ponto (
).
R. A superfície é uma superfície de nível da função
. O vetor normal ao plano tangente no ponto dado é o vetor gradiente de
nesse ponto. Temos
A equação do plano tangente é
ou
(b)
Escreva uma equação da reta normal a essa superfície no ponto (1, 7, 2)
R. A reta normal à superfície é perpendicular ao plano tangente. Uma equação vetorial é
R. A superfície é uma superfície de nível da função
R. A reta normal à superfície é perpendicular ao plano tangente. Uma equação vetorial é
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a superfície de nível dada por
e queremos (a) o plano tangente e (b) a reta normal a essa superfície no ponto
. Para isso, vamos usar o fato de que o vetor normal ao plano tangente é o gradiente de
avaliado nesse ponto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente em
:
Passo 4
A equação geral do plano tangente com normal
no ponto
vem de
Passo 5
Bast a simplificar a equação do plano:
Logo,
Passo 6
Para a reta normal, usamos o vetor direção igual ao gradiente
e ponto
. A forma paramétrica é
Resposta
(a) Plano tangente:
(b) Reta normal: