3^{\underline{a}} Questão ( \mathbf{2 , 0} pts) Considere a superfície de equação
z^{3}+3 x z-2 y=0
(a) (1,5) Escreva a equação geral do plano tangente a essa superfície no ponto ( 1,7,2 ).
R. A superfície é uma superfície de nível da função f(x, y, z)=z^{3}+3 x z-2 y. O vetor normal ao plano tangente no ponto dado é o vetor gradiente de f nesse ponto. Temos
\begin{gathered} f_{x}=3 z \quad f_{y}=-2 \quad f_{z}=3 z^{2}+3 x \\\ \vec{\nabla} f(1,7,2)=(6,-2,15) \end{gathered}
A equação do plano tangente é
6(x-1)-2(y-7)+15(z-2)=0
ou
6 x-2 y+15 z=22
(b) (0,5) Escreva uma equação da reta normal a essa superfície no ponto (1, 7, 2)
R. A reta normal à superfície é perpendicular ao plano tangente. Uma equação vetorial é
X=(1,7,2)+t(6,-2,15)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a superfície de nível dada por
f(x,y,z)=z^{3}+3\,x\,z-2\,y=0
e queremos (a) o plano tangente e (b) a reta normal a essa superfície no ponto (1,7,2). Para isso, vamos usar o fato de que o vetor normal ao plano tangente é o gradiente de f avaliado nesse ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
f_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(z^{3}+3xz-2y)=3\,z,
f_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(z^{3}+3xz-2y)=-2,
f_{z}=\frac{\partial}{\partial z}(z^{3}+3xz-2y)=3\,z^{2}+3\,x.

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em (x,y,z)=(1,7,2):
\nabla f(1,7,2)=(\,f_{x}(1,7,2),\,f_{y}(1,7,2),\,f_{z}(1,7,2)\,) =(3\cdot2,\,-2,\,3\cdot2^{2}+3\cdot1)=(6,\,-2,\,15).

Passo 4

A equação geral do plano tangente com normal \bigl(6,-2,15\bigr) no ponto (1,7,2) vem de
6(x-1)-2(y-7)+15(z-2)=0.

Passo 5

Bast a simplificar a equação do plano:
6x-6-2y+14+15z-30=0 \quad\Longrightarrow\quad 6x-2y+15z-22=0.
Logo,
6x-2y+15z=22.

Passo 6

Para a reta normal, usamos o vetor direção igual ao gradiente (6,-2,15) e ponto (1,7,2). A forma paramétrica é
(x,y,z)=(1,7,2)+t\,(6,-2,15),\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) Plano tangente:
6x-2y+15z=22.
(b) Reta normal:
\bigl(x,y,z\bigr)=(1,7,2)+t\,(6,-2,15),\quad t\in\mathbb{R}.

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