(2.5 pontos) Seja \gamma a curva de equação
\frac{(x-2)^{2}}{4}+4(y-1)^{2}=1
percorrida uma vez no sentido anti-horário. Faça um esboço da curva \gamma e calcule a integral de linha
\int_{\gamma}\left(\frac{y}{x^{2}+4 y^{2}}-6 y+\operatorname{sen}(x)\right) d x+\left(-\frac{x}{x^{2}+4 y^{2}}+3 x+\operatorname{sen}(y)\right) d y

Passo 1

O enunciado define a curva \gamma pela elipse
\frac{(x-2)^{2}}{4}+4(y-1)^{2}=1
percorrida no sentido anti-horário e pede o esboço dessa elipse e o valor da integral de linha
\int_{\gamma}\!P\,dx+Q\,dy,
onde
P(x,y)=\frac{y}{x^{2}+4y^{2}}-6y+\operatorname{sen}(x), \quad Q(x,y)=-\frac{x}{x^{2}+4y^{2}}+3x+\operatorname{sen}(y).
O método mais direto é usar o Teorema de Green, que transforma a integral de linha num integral dupla de
\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} sobre a região interna à elipse.

Passo 2

Primeiro, esboçamos a elipse, cujo centro é (2,1), semi-eixo maior em x vale a=2 e semi-eixo menor em y vale b=\tfrac12. Note que o denominador x^{2}+4y^{2} anula-se apenas em (0,0), mas esse ponto não pertence à região interna da elipse (basta verificar \tfrac{(-2)^{2}}{4}+4(-1)^{2}=5>1). Logo o campo (P,Q) é C^{1} na região fechada por \gamma, e podemos aplicar Green.

Passo 3

Calculemos
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\frac{x}{x^{2}+4y^{2}}\Bigr) + \frac{\partial}{\partial x}(3x) + \frac{\partial}{\partial x}\operatorname{sen}(y).
Usando derivada de quociente obtemos
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\frac{x}{x^{2}+4y^{2}}\Bigr) =\frac{x^{2}-4y^{2}}{(x^{2}+4y^{2})^{2}},
além de \partial(3x)/\partial x=3 e \partial\operatorname{sen}(y)/\partial x=0.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{x^{2}-4y^{2}}{(x^{2}+4y^{2})^{2}}+3.

Passo 4

De modo análogo,
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y}{x^{2}+4y^{2}}\Bigr) -6 +\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{sen}(x).
Fazendo o cálculo temos também
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y}{x^{2}+4y^{2}}\Bigr) =\frac{x^{2}-4y^{2}}{(x^{2}+4y^{2})^{2}},
e como \partial\operatorname{sen}(x)/\partial y=0, conclui-se
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{x^{2}-4y^{2}}{(x^{2}+4y^{2})^{2}}-6.

Passo 5

Subtraindo,
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\Bigl(\frac{x^{2}-4y^{2}}{(x^{2}+4y^{2})^{2}}+3\Bigr) -\Bigl(\frac{x^{2}-4y^{2}}{(x^{2}+4y^{2})^{2}}-6\Bigr) =9.
Pelo Teorema de Green,
\int_{\gamma}P\,dx+Q\,dy =\iint_{R}9\,dA =9\cdot\text{Área}(R).Á
A região R é a elipse de semi-eixos a=2 e b=\tfrac12, logo \text{Área}(R)=\pi a b=\piÁ.

Resposta

\int_{\gamma}\left(\frac{y}{x^{2}+4 y^{2}}-6 y+\operatorname{sen}(x)\right)dx +\left(-\frac{x}{x^{2}+4 y^{2}}+3 x+\operatorname{sen}(y)\right)dy =9\pi.

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