(2.5 pontos) Seja
a curva de equação
percorrida uma vez no sentido anti-horário. Faça um esboço da curva
e calcule a integral de linha
Passo 1
O enunciado define a curva
pela elipse
percorrida no sentido anti-horário e pede o esboço dessa elipse e o valor da integral de linha
onde
O método mais direto é usar o Teorema de Green, que transforma a integral de linha num integral dupla de
sobre a região interna à elipse.
Passo 2
Primeiro, esboçamos a elipse, cujo centro é
, semi-eixo maior em
vale
e semi-eixo menor em
vale
. Note que o denominador
anula-se apenas em
, mas esse ponto não pertence à região interna da elipse (basta verificar
). Logo o campo
é
na região fechada por
, e podemos aplicar Green.
Passo 3
Calculemos
Usando derivada de quociente obtemos
além de
e
.
Logo
Logo
Passo 4
De modo análogo,
Fazendo o cálculo temos também
e como
, conclui-se
Passo 5
Subtraindo,
Pelo Teorema de Green,
A região
é a elipse de semi-eixos
e
, logo
.