2^{\underline{a}} Questão ( \mathbf{3 , 0} pts) Determine e classifique todos os pontos críticos da função
f(x, y)=x^{4}+y^{4}-2 x^{2}-2 y^{2}
R. Os pontos críticos de f são as soluções do sistema
\left\{\begin{array} { l } { f _ { x } = 0 } \\\ { f _ { y } = 0 } \end{array} \quad \text { ou } \quad \left\{\begin{array}{l} 4 x^{3}-4 x=0 \quad \Longleftrightarrow 4 x\left(x^{2}-1\right)=0 \quad \Longleftrightarrow x=0 \text { ou } x= \pm 1 \\\\ 4 y^{3}-4 y=0 \quad \Longleftrightarrow 4 y\left(y^{2}-1\right)=0 \quad \Longleftrightarrow y=0 \text { ou } y= \pm 1 \end{array}\right.\right.
Os pontos críticos de f são (0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(1,-1),(-1,0),(-1,1) e ( -1,-1 ) Para classificá-los, usamos o teste da derivada segunda
f_{x x}=12 x^{2}-4 \quad f_{y y}=12 y^{2}-4 \quad f_{x y}=0 \Rightarrow D(x, y)=16\left(3 x^{2}-1\right)\left(3 y^{2}-1\right)
Ponto ( x_{0}, y_{0} ) D\left(x_{0}, y_{0}\right) f_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right) Conclusão
(0,0) 16 -4 (0,0) é ponto de máximo local
(0,1) -32 (0,1) é ponto de sela
(0, -1) -32 ( 0,-1 ) é ponto de sela
(1,0) -32 (1,0) é ponto de sela
(1,1) 64 8 (1,1) é ponto de mínimo local
(1, -1) 64 8 ( 1,-1 ) é ponto de mínimo local
(-1, 0) -32 ( -1,0 ) é ponto de sela
(-1, 1) 64 8 ( -1,1 ) é ponto de mínimo local
(-1, -1) 64 8 ( -1,-1 ) é ponto de mínimo local

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os pontos críticos de
f(x,y)=x^{4}+y^{4}-2x^{2}-2y^{2}
e classificá-los via teste da segunda derivada (Hessiana). Para isso vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem, resolver f_x=0 e f_y=0, depois calcular as derivadas de segunda ordem e usar o discriminante da Hessiana.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e resolva o sistema
f_x=4x^3-4x=4x(x^2-1)=0, \quad f_y=4y^3-4y=4y(y^2-1)=0.
Assim,
x=0\text{ ou }x=\pm 1, \quad y=0\text{ ou }y=\pm 1.
Os nove pontos críticos são
(0,0),\;(0,\pm1),\;(\pm1,0),\;(\pm1,\pm1).

Passo 3

Calcule as derivadas de segunda ordem:
f_{xx}=12x^2-4,\quad f_{yy}=12y^2-4,\quad f_{xy}=0.
O determinante da Hessiana é
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 =(12x^2-4)(12y^2-4) =16\,(3x^2-1)(3y^2-1).

Passo 4

Avalie D e f_{xx} em cada ponto:
1. Em (0,0):
D=16(-1)(-1)=16>0,\quad f_{xx}=-4<0
\Rightarrow máximo local.
2. Em (\pm1,\pm1):
D=16\,(2)(2)=64>0,\quad f_{xx}=12\cdot1-4=8>0
\Rightarrow mínimo local.
3. Em (0,\pm1) e (\pm1,0):
D=16\,(-1)(2)=-32<0
\Rightarrow ponto de sela.

Resposta

(0,0) é ponto de máximo local.
(1,1),; (1),- (1),😭- (1,1)),😭- (1),- (1)) são pontos de mínimo local.
(1,0),😭- (1,0)),; (0,1),; (0),- (1) são pontos de sela.

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