(2.5 pontos) Seja \vec{F}(x, y, z)=\left(x^{3}+y \operatorname{sen} z\right) \vec{i}+\left(y^{3}+z \operatorname{sen} x\right) \vec{j}+\left(z^{3}+2\right) \vec{k}. Calcule \iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, onde S é a superfície determinada por z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}} (o hemisfério superior da esfera).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS
onde
\mathbf F(x,y,z)=(x^3+y\sin z)\,\mathbf i+(y^3+z\sin x)\,\mathbf j+(z^3+2)\,\mathbf k
e S é o hemisfério superior da esfera x^2+y^2+z^2=4.
Como S não é fechado, vamos aplicar o Teorema da Divergência na região V que é o volume do hemisfério, fechando-o com o disco D\colon z=0,\;x^2+y^2\le4.

Passo 2

Calcular a divergência de \mathbf F:
\diverg \mathbf F =\frac{\partial}{\partial x}(x^3+y\sin z) +\frac{\partial}{\partial y}(y^3+z\sin x) +\frac{\partial}{\partial z}(z^3+2).
Como \partial(x^3)/\partial x=3x^2, \partial(y\sin z)/\partial x=0, \partial(y^3)/\partial y=3y^2, \partial(z\sin x)/\partial y=0 e \partial(z^3+2)/\partial z=3z^2, segue
\diverg \mathbf F=3x^2+3y^2+3z^2=3\,(x^2+y^2+z^2).

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS +\iint_{D}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS =\iiint_{V}\diverg\mathbf F\,dV.
Primeiro calculamos
\iiint_{V}3(x^2+y^2+z^2)\,dV.
Em coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi) com 0\le\rho\le2, 0\le\theta\le2\pi, 0\le\varphi\le\pi/2, tem-se x^2+y^2+z^2=\rho^2 e dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. Então
\iiint_{V}3\rho^2\,\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =3\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi\int_{0}^{2}\rho^4\,d\rho.
Calculando cada parte:
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi,\quad \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi=1,\quad \int_{0}^{2}\rho^4\,d\rho=\frac{\rho^5}{5}\Big|_{0}^{2}=\frac{32}{5}.
Logo
\iiint_{V}\diverg\mathbf F\,dV =3\cdot2\pi\cdot1\cdot\frac{32}{5} =\frac{192\pi}{5}.

Passo 4

Agora calculamos o fluxo através do disco D em z=0. A normal externa ao volume em D aponta para baixo, ou seja \mathbf n=-\mathbf k. Em z=0,
\mathbf F(x,y,0)=(x^3+y\sin0)\,\mathbf i+(y^3+0\cdot\sin x)\,\mathbf j+(0^3+2)\,\mathbf k =(x^3)\,\mathbf i+(y^3)\,\mathbf j+2\,\mathbf k.
Assim
\mathbf F\cdot\mathbf n =\mathbf F\cdot(-\mathbf k)=-2,
e
\iint_{D}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS =\iint_{x^2+y^2\le4}(-2)\,dA =-2\cdot\text{área}(D) =-2\cdot(4\pi) =-8\pi.á

Passo 5

Usando o Teorema da Divergência:
\iint_{S}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS = \iiint_{V}\diverg\mathbf F\,dV \;-\;\iint_{D}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS =\frac{192\pi}{5}-(-8\pi) =\frac{192\pi}{5}+8\pi =\frac{192\pi+40\pi}{5} =\frac{232\pi}{5}.

Resposta

\boxed{\frac{232\pi}{5}}

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