(2.5 pontos) Seja \vec{F}(x, y, z)=\left(x^{3}+y \operatorname{sen} z\right) \vec{i}+\left(y^{3}+z \operatorname{sen} x\right) \vec{j}+\left(z^{3}+2\right) \vec{k}. Calcule \iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, onde S é a superfície determinada por z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}} (o hemisfério superior da esfera).
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS
onde
\mathbf F(x,y,z)=(x^3+y\sin z)\,\mathbf i+(y^3+z\sin x)\,\mathbf j+(z^3+2)\,\mathbf k
e S é o hemisfério superior da esfera x^2+y^2+z^2=4.
Como S não é fechado, vamos aplicar o Teorema da Divergência na região V que é o volume do hemisfério, fechando-o com o disco D\colon z=0,\;x^2+y^2\le4.
Em coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi) com 0\le\rho\le2, 0\le\theta\le2\pi, 0\le\varphi\le\pi/2, tem-se x^2+y^2+z^2=\rho^2 e dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. Então